Una simple pregunta del texto de Herstein

Question

Permítanme citar primero un ejemplo del texto de Herstein $(2$ nd Ed. $)$ :

Ejemplo 2.2.4 Dejemos que $n$ sea un número entero cualquiera. Construimos un grupo de orden $n$ de la siguiente manera: $G$ consistirá en todos los símbolos $a^i,i=0,1,...,n-1$ donde insistimos en que $a^0=a^n=e,a^i.a^j=a^{i+j}$ si $i+j\leq n$ y $a^i.a^j=a^{i+j-n}$ si $i+j>n.$ El lector puede comprobar que se trata de un grupo. Se denomina grupo cíclico de orden $n.$

Ahora mis preguntas son:

¿Cómo es que $G$ parecer si $n<0?$ Hace para $n=-1,G=\{a^0,a^{-1},a^{-2}\}?$ Pero entonces, ¿cómo $(a^{-2})^2=a^{-4}$ donde $-4<-1$ se puede calcular a partir de la definición?

Answer 1

$n$ debe tomarse como un número entero positivo ya que estamos hablando de un grupo de orden $n$ . Obsérvese que en cualquier grupo, podemos hablar de $a^{-n}$ que puede tomarse como $(a^{-1})^n=(a^n)^{-1}$ .

Answer 2

Tal vez estés confundiendo la representación de los elementos con la operación del grupo que tienen; recuerda: un grupo debe ser cerrado bajo operación. Además de recuerda la definición de orden de un grupo: el menor número entero positivo tal que, para $g \in G$ , $g^{n}=e$ la identidad de $G$ .

Answer 3

Seguramente Herstein quería decir positivo $\rm\,n.\:$ Sin embargo, se puede modificar trivialmente la definición para que también funcione con exponentes negativos. De hecho, podemos dejar que los exponentes sean cualquier conjunto $\rm\,S\,$ que es un sistema completo de repeticiones para las clases de congruencia del grupo aditivo $\rm\,\Bbb Z/n =$ enteros mod $\rm\,n.\:$ Por ejemplo, para $\rm\,n=5,\,$ podríamos dejar que $\rm\,S\,$ sea $\:0,-1,-2,-3,-4\ $ o $\ 2,1,0,-1,-2.\:$ Entonces la operación de grupo es simplemente $\rm\:a^i a^j = a^{(i+j)\ mod\ n}\,$ donde $\rm\:(i\!+\!j)\ mod\ n\:$ denota el único elemento de $\rm\,S\,$ es decir $\rm\equiv i+j\,\ (mod\ n).$

Esto equivale simplemente a reescribir dicho aditivo grupo en un multiplicativo forma. Si conoces los isomorfismos de grupo, te resultará fácil demostrar que la representación multiplicativa es isomorfa a la aditiva. De hecho, la definición de adición de exponentes es precisamente lo que se requiere para hacer que el mapa $\rm\:k\to a^k\:$ sea un homomorfismo de grupo.