¿Existe un método de relajación cónica de segundo orden para el término bilineal $z=xy$ ?

Question

Espero encontrar una relajación cónica de segundo orden (SOC) para $z = xy$ pero parece muy difícil.

Answer 1

La matriz de momentos 3x3 es $\begin{pmatrix} 1 & x & y\\x & x^2 & xy\\y & xy & y^2\end{pmatrix}$ que es psd y rango-1. Introduzca las variables de relajación y su relajación semidefinida es $\begin{pmatrix} 1 & x & y\\x & X_{20} & X_{11}\\y & X_{11} & X_{02}\end{pmatrix}\succeq 0$ (con $z$ siendo así $X_{11}$ ). Para que esto sea psd, todos los menores tienen que ser psd, por lo que una condición necesaria es (es decir, la relajación)

$$\begin{pmatrix} 1 & x\\x & X_{20}\end{pmatrix}\succeq 0,\begin{pmatrix} 1 & y\\y & X_{02}\end{pmatrix}\succeq 0, \begin{pmatrix} X_{20} & X_{11}\\X_{11} & X_{02}\end{pmatrix}\succeq 0$$

Una restricción semidefinida de 2x2 $\begin{pmatrix} a &b\\b & c\end{pmatrix}\succeq 0$ se puede representar con un SOCP mirando los menores y después de una representación SOCP de la restricción cuadrática se tiene $\left|\left|\begin{matrix}2b\\a-c\end{matrix}\right|\right|\leq a + c, a\geq 0, c\geq 0$