Tengo una pregunta sobre las palabras "acíclico" y "exacto". ¿Por qué Brown utiliza el término "acíclico" en lugar de "exacto" en su libro Cohomology of Groups? Me parece que estos dos términos coinciden exactamente. ¿Hay ejemplos (o temas en matemáticas) en los que ser acíclico significa ser sth1 y ser exacto significa ser sth2, y cuando se restringe a la teoría de la homología sth1 y sth2 coinciden? Gracias.
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Mariano, parece que estás confundiendo algunas cosas aquí. Un complejo es acíclico si y sólo si es exactamente . (véase, por ejemplo, el ejercicio 1.1.5 en el libro de Álgebra Homológica de Weibel, o probablemente cualquier lugar donde se defina).
Un objeto es acíclico para un functor si los funtores derivados de dicho functor desaparecen en el objeto. Por ejemplo, una gavilla de flasque para el functor de sección global.
A resolución es acíclico si los objetos de la resolución son objetos acíclicos.
Una resolución proyectiva es acíclica por ejemplo para el $\mathrm{Hom}(\__, N)$ functor (para algunos $N$ ) porque un módulo proyectivo lo es y no porque sea exacto excepto en grado cero. Esta condición está codificada en la palabra resolución .
Así que, sin conocer la forma en que Brown utiliza esto (niyazi, tendrías que ser un poco más específico al respecto) la respuesta a la pregunta es algo así: mientras se hable de que un complejo es acíclico, significa lo mismo que exacto, pero acíclico también se aplica a un objeto, mientras que no decimos que un objeto es exacto.
Acíclico y exacto no son lo mismo. Como dice Akhil en su respuesta, la exacta larga para la cohomología de grupos es efectivamente exacta, pero una resolución proyectiva de un módulo es acíclica porque no es exacta en grado cero.
Originalmente, se solía decir que una resolución proyectiva $P_\bullet$ de un módulo $M$ era "acíclico sobre $M$ ", y eso significa que hay un mapa $\varepsilon:P_0\to M$ llamada aumento, tal que si se extiende el complejo $P_\bullet$ para poner $M$ en grado $-1$ con $\varepsilon$ como el último diferencial, entonces el complejo resultante es exacto.
Del mismo modo, un espacio acíclico no es aquel cuyo complejo singular es exacto (¡hay muy pocos espacios de este tipo!) sino aquel cuyo complejo singular es acíclico sobre $\mathbb Z$ .
Judah Himango
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De hecho, la "acyclicidad" de un complejo significa casi lo mismo que la exactitud (excepto en el grado cero, como señala Mariano). Creo que simplemente se utilizan en contextos diferentes: la gente suele llamar a las secuencias (como las "secuencias cortas exactas" $0 \to A \to B \to C \to 0$ o también "secuencias largas exactas" que se derivan de los complejos) exactas, mientras que un complejo por sí mismo suele llamarse acíclico si tiene la misma propiedad.
Por ejemplo, se diría que la secuencia exacta larga para la cohomología de grupos es exacta (probablemente no acíclica), pero que la resolución utilizada para calcularla era acíclica (aunque aquí probablemente se utilice más el término "exacta").
