Tengo el mapa lineal: f: $\mathbb{R^4} \rightarrow \mathbb{R^3}$ con $ \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{array} \right) \mapsto \left( \begin{array}{c} x_1+2x_2+x_3 \\ 2x_1+x_3+x_4 \\ 3x_1+2x_2+3x_3+x_4 \end{array} \right) $ .
Hasta ahora también he calculado la imagen(f) y el núcleo(f), pero no sé cómo empezar a calcular las dimensiones de la imagen y el núcleo de f. Espero que me puedan ayudar. ¡Gracias de antemano!
El "núcleo" de una transformación lineal, f, es el conjunto de todos los v tales que f(v)= 0.
Aquí, debemos tener $x_1+ 2x_2+ x_3= 0$ , $2x_1+ x_3+ x_4= 0$ y $3x_1+ 2x_2+ 3x_3+ x_4= 0$ . Se trata de tres ecuaciones en cuatro incógnitas, por lo que cabe esperar que haya "un grado de libertad" o dimensión 4- 3= 1. En concreto, podemos resolver la primera ecuación para $x_3$ : $x_3= -x_1- x_2$ . La segunda ecuación se convierte entonces en $2x_1+ (-x_1- x_2)+ x_4= x_1- x_2+ x_4= 0$ y la tercera ecuación se convierte en $3x_1+ 2x_2+ 3(-x_1- x_2)+ x_4= -x_2+ x_4= 0$ . Podemos entonces escribir $x_4= x_2$ por lo que el $x_1- x_2+ x)2= x_1+ 2x_2= 0$ . Entonces $x_1= -2x_2$ , $x_4= x_2$ y $x_3= -x_1- x_2= 2x_2- x_2= x_2$ . $(x_1, x_2, x_3, x_4)= (-2x_2, x_2, x_2, x_2)= x_2(-2, 1, 1, 1). Sí, el núcleo es unidimensional, abarcado por el único vector (-2, 1, 1, 1).
Una vez que sabemos que el núcleo tiene dimensión 1, sabemos que la imagen tiene dimensión 4- 1= 3.
La matriz de la aplicación es $$\left(\begin{matrix}1&2&1&0\\2&0&1&1\\3&2&3&1\end{matrix}\right)$$
Utiliza el método de Gauss para calcular su rango. Esta será la dimensión de la imagen de la aplicación lineal.
Entonces aplique que si $f:\Bbb R^m\to\Bbb R^n$ es lineal, entonces $\dim\ker f+\dim \mathrm{Im} f=m$ .
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