Medidas de probabilidad y desigualdades

Question

Sean X e Y variables aleatorias definidas en el espacio de probabilidad $(\Omega, \mathcal{S}, \mathcal{P})$ .

Lo he hecho:

(i) $\mathcal{P}(|X+Y| >\epsilon) \leq \mathcal{P}(X>\epsilon/2) + \mathcal{P}(Y>\epsilon/2) $

(ii) $\mathcal{P}(|X| >\epsilon, |Y|> \epsilon)= c$ implica $ \mathcal{P}(|X+Y|>2\epsilon) =c$

(Los problemas reales son más complicados, sólo intento simplificar la parte que me confunde. )

Me estoy liando a combinar y romper una parte estas medidas de probabilidad. Siento que algunas de estas relaciones tienen que ver con la desigualdad del triángulo. Podría usar algo de ayuda para entender la intuición.

Answer 1

(i) Se desprende de $\{|X+Y| >\epsilon\} \subset \{|X| >\epsilon /2\} \cup \{|Y| >\epsilon /2\} $ . (Como ha señalado aleph_two signos de valor absoluto en RHS son necesarios).

(ii) $X=-Y=2\epsilon $ es un contraejemplo.