Comprensión de los productos de copa para el grupo de cohomología de Tate

Question

Estoy leyendo sobre los "productos de la copa" en el libro "Algebraic Number Theory" de Cassels y Frohlich. El siguiente teorema aparece en la página 105.

Teorema. $G$ es un grupo finito, entonces existe una y sólo una familia de morfismos $$\hat H^p(G,A ) \otimes \hat H^q(G,B ) \rightarrow \hat H^{p+q}(G,A \otimes B ) $$ definido para los números enteros $p, q$ y $G$ módulos $A,B$ tal que
*se enumeran las propiedades habituales de los productos de la taza

La segunda de estas propiedades enumeradas es

(ii) Para $p=q=0 $ ellos (la familia de morfismos) son inducidos por el producto natural $$A^G \otimes B^G= (A \otimes B)^G $$

Supongo que el mapa natural es $a\otimes b \mapsto a \otimes b$ . Mientras que este mapa funciona para grupos de cohomología, cuando se trata de grupos de cohomología de Tate $\hat H^0(G,A)=A^G/Nm_G A $ . Así que el morfismo del producto taza es $$A^G/Nm_G A \otimes B^G/Nm_G B \rightarrow (A\otimes B)^G/Nm_G(A \otimes B)$$ El mapa natural inducido debería ser, a mi entender, $\overline a \otimes \overline b \mapsto \overline{ a\otimes b }$ .
Pero no veo que este mapa esté bien definido. Sé que en general el mapa $A/A' \otimes B/B' \rightarrow A \otimes B/(A'\otimes B')$ no está bien definida.

Supongamos, por ejemplo $a' \in Nm_GA, b' \in Nm_G B $ entonces es $\overline {a+a'\otimes b+b'} = \overline {a \otimes b} $ .
Estoy atascado en $ \overline {a+a'\otimes b+b'}=\overline {a \otimes b} + \overline {a \otimes b'} + \overline {a' \otimes b}$

Siéntase libre de dar cualquier referencia y cualquier ayuda es apreciada.

Answer 1

Para demostrar que el mapa $\newcommand\Nm{\mathrm{Nm}}$ $$\frac{A^G}{\Nm_GA}\otimes\frac{B^G}{\Nm_GB}\to\frac{(A\otimes B)^G}{\Nm_G(A\otimes B)}$$ está bien definido, necesitamos que sea inducido a partir de un mapa bilineal $$\frac{A^G}{\Nm_GA}\times\frac{B^G}{\Nm_GB}\to\frac{(A\otimes B)^G}{\Nm_G(A\otimes B)}.$$ En otras palabras, necesitamos el mapa $$A^G\times B^G\ni(a,b)\longmapsto\overline{a\otimes b}\in\frac{(A\otimes B)^G}{\Nm_G(A\otimes B)},$$ que es visiblemente bilineal, para desaparecer cuando $a\in\Nm_GA$ o $b\in\Nm_GB$ (por lo que desciende a un mapa bilineal sobre el producto de los espacios cotizados). Supongamos primero $$a=\Nm_Gx=\sum_{g\in G}g\cdot x$$ para algunos $x\in A$ . Entonces, para cualquier $b\in B^G$ , $$(a,b)\mapsto\overline{\sum_{g\in G}(g\cdot x)\otimes b}=\overline{\sum_{g\in G}(g\cdot x)\otimes(g\cdot b)}=\overline{\Nm_G(x\otimes b)}=0\in\frac{(A\otimes B)^G}{\Nm_G(A\otimes B)},$$ como se desee. Del mismo modo, se demuestra que para cualquier $a\in A^G$ y $b=\Nm_Gy$ ( $y\in B$ ), $(a,b)\mapsto0$ . Así, el mapa $\overline a\otimes\overline b\mapsto\overline{a\otimes b}$ que has escrito está bien definida.