¿Existen otros tipos de funciones de la protuberancia de $e^\frac1{x^2-1}$?

Question

Hasta ahora sólo he visto la protuberancia función $e^\frac1{x^2-1}$. ¿Donde puedo encontrar ejemplos de funciones $C^∞$ $\mathbb{R}$ que son cero por todas partes excepto en $(-1,1)$?

¿Hay otros que no impliquen la función exponencial? ¿Hay alguno con una forma cerrada integral? ¿Hay una función preferida?

Answer 1

Presumiblemente, lo que desea es una función que es $C^\infty$$\mathbb R$, valor distinto de cero en $(-1,1)$ y cero en otro lugar. Es conveniente usar algo que involucran la función exponencial, porque es distinto de cero en todas partes, sino que va más rápido que cualquier polinomio en$-\infty$, y es fácil de diferenciar. Si usted realmente desea evitar que la función exponencial, usted podría intentar algo como $$\frac{1}{I_0(1/(1-x^2))}$$ for $-1 < x < 1$ where $I_0$ is a modified Bessel function of order $0$.

Para obtener un ejemplo que tiene una forma cerrada de antiderivada, usted puede tratar de $$ \frac{\left( {x}^{2}+1 \right)\ {{\rm e}^{{\frac {4x}{{x}^{2}-1}}}}}{\a la izquierda( \left( {x}^{2}-1 \right) \left( 1+{{\rm e}^{{\frac {4x}{{x}^{ 2}-1}}}} \right)\right)^2} $$

Answer 2

Todos estos procesos implican romper el dominio de las desigualdades y que, ya sea visible o no, implican algo más simple que la función exponencial. El original de una cara es la versión $$ f(x) = e^{-1/x} \; \mbox{for} \; x > 0 $$ pero $$ f(x) = 0 \; \mbox{for} \; x \leq 0. $$

Usted puede conseguir un golpe de este por la multiplicación con $$ g(x) = f( 1 + x) \cdot f(1 - x) $$

Consigue un alisado función de paso de $$ h(x) = \int_{- \infty}^x \; g(t) dt $$

Usted obtener una meseta de la protuberancia de la función, constante en el medio, desde $$ p(x) = h(x + A) \cdot h(A -x) $$ para algunos $A > 1.$

Podemos demostrar algunas propiedades de este tipo de cosas. No tiene ninguna singularidad removible en los puntos donde no es real, analítica, en el mejor de los que tiene una singularidad esencial o, posiblemente, no está aún definido en cualquier barrio de el punto en $\mathbb C.$