¿Qué tiene de malo este derivado para $\left(1−\frac{1}{x}\right)^x$ ?

Question

Hice una pregunta sobre cómo diferenciar $(11/x)^x$ antes, para $x>1$ . El derivado que me dijeron es $$f'(x)=\left(1-\frac{1}{x}\right)^x\left[\frac{1}{1-x}+\log\left(1-\frac{1}{x}\right)\right]$$ Sin embargo, esto es negativo para muchos $x>1$ . La función es creciente para $x>1$ . Entonces, una función creciente tiene una derivada negativa. ¡No puedo ver lo que está mal!

Answer 1

En el cuerpo del PO (pero no en el título), estamos diferenciando $\exp(x\ln(1-1/x))$ .

Utilizamos la regla de la cadena. Obsérvese que la derivada de $x\ln(1-1/x)$ es $$x(-1)(-1/x^2)\frac{1}{1-1/x}+\ln(1-1/x).$$ Esto se simplifica a $$\frac{1}{x-1}+\ln(1-1/x).\tag{1}$$ l, multiplicar por $(1-1/x)^x$ .

Añadido: Podemos utilizar la derivada para demostrar que nuestra función es creciente. Basta con demostrar que si $g(x)=\frac{1}{x-1}+\ln(1-1/x)$ entonces $g(x)$ es positivo para $x\gt 1$ . Tenemos $$g'(x)=-\frac{1}{(x-1)^2}+\frac{1}{x^2-x}=-\frac{1}{x(x-1)^2}.$$ Así que $g(x)$ es decreciente en el intervalo $(1,\infty)$ . Pero $\lim_{x\to\infty} g(x)=0$ . De ello se desprende que $g(x)\gt 0$ para $x\gt 1$ .

Answer 2

$$\frac{d}{dx}(1-1/x)^{x^2}=\frac{d}{dx} (e^{x^2 \log(1-1/x)}) = (1-1/x)^{x^2} (2x \log(1-1/x)+ 1/(1-1/x))$$

Answer 3

Para este tipo de problemas, creo que la diferenciación logarítmica simplifica las cosas. Supongamos que $$f(x)=\left(1−\frac{1}{x}\right)^{a(x)}$$ Así que, $$\log(f(x))=a(x) \log\left(1−\frac{1}{x}\right)$$ $$\frac{f'(x)}{f(x)}=a'(x)\log\left(1−\frac{1}{x}\right)+\frac{a(x)}{(x-1) x}$$ y luego $f'(x)$ .