¿Existe una $\infty$ versión de la distancia de Wasserstein entre dos distribuciones?

Question

Si tengo dos distribuciones de probabilidad $\mu$ y $\nu$ definido en $X$ y $Y$ respectivamente, entonces el $p$ -Distancia Wasserstein entre ambos se define como $$W_p(\mu,\nu) = \left(\inf_{\pi\in\Pi(\mu,\nu)}\int_{X\times Y}d(x,y)^{p}\,\mathrm{d}\pi(x,y)\right)^{1/p} $$ donde $\Pi(\mu,\nu)$ es el conjunto de todas las distribuciones en $X\times Y$ cuyos marginales son $\mu$ y $\nu$ respectivamente y $p\geq 1$ . Mi pregunta es: ¿es el comportamiento límite de esta cantidad como $p\to\infty$ ¿se define? ¿Tiene un nombre?

Answer 1

No veo ninguna razón para que $W_\infty := \inf_{\pi\in\Pi}||d||_{L^\infty(\pi)}$ no encajaría. Esto no quiere decir que $\lim_{p\to\infty} W_p=W_\infty$ (que de todos modos creo que es cierto), pero al menos existe, aunque con propiedades diferentes a las del $W_p$ s, $p<\infty$ .