¿A qué nivel se mantienen constantes las covariables en la regresión logística múltiple?

Question

Estoy realizando una regresión logística múltiple con varias covariables continuas y categóricas. Me pregunto cómo interpretar los resultados de cada covariable si las demás se mantienen constantes. ¿A qué nivel se mantienen las variables de control continuas? ¿Se mantienen en su media?

Creo que para las variables de control categóricas, la categoría de referencia es el nivel en el que se mantiene. ¿Qué pasa si quiero mantenerla en otro nivel, como uno codificado, 1 o 2?

Answer 1

Esto se aborda principalmente en ¿Qué significa "todo lo demás es igual" en la regresión múltiple? Es decir, que pueden mantenerse constantes en cualquier valor o nivel de las covariables. En cierto sentido, es más fácil explicarlas (o concebirlas) como si se mantuvieran en las medias de las otras variables continuas y en los niveles de referencia de las otras variables categóricas, pero podría utilizarse cualquier valor o nivel. Además, esto supone que no hay términos de interacción en el modelo entre sus covariables, de lo contrario no es posible, en general, mantener todo lo demás igual (esto también se explica en el hilo enlazado).

La única complicación añadida en un contexto de regresión logística (o cualquier modelo lineal generalizado en el que el enlace no sea la función de identidad), es que este sólo pertenece al predictor lineal. Por ejemplo, en la regresión logística, el resultado de $\bf X \boldsymbol{\hat\beta}$ es un conjunto de probabilidades logarítmicas. Sin embargo, la gente suele preferir ver $\hat p_i$ En su lugar. Por supuesto, eso está bien, pero implica una transformación no lineal. Como resultado, debido a La desigualdad de Jensen las curvas sigmoides que se obtendrían para la relación entre $X_1$ y $Y$ diferirían en función de si $X_2$ se mantiene constante en $\bar X_2$ o $\bar X_2 + s_{\bar X_2}$ . La implicación de esto es que no existe realmente tal cosa como "todo lo demás igual" en el espacio transformado, sólo en el espacio del predictor lineal.

Si ayuda a aclarar estas ideas, considere esta sencilla simulación (codificada en R):

set.seed(6666)                              # makes the example exactly reproducible
lo2p = function(lo){ exp(lo)/(1+exp(lo)) }  # we'll need this function

x1 = runif(500, min=0, max=10)     # generating X data
x2 = rbinom(500, size=1, prob=.5)
lo = -2.2 + 1.1*x2 + .44*x1        # the true data generating process
p  = lo2p(lo)
y  = rbinom(500, size=1, prob=p)   # generating Y data

m  = glm(y~x1+x2, family=binomial) # fitting the model & viewing the coefficients
summary(m)$coefficients
#               Estimate Std. Error   z value     Pr(>|z|)
# (Intercept) -2.0395304 0.25907518 -7.872350 3.480415e-15
# x1           0.4220811 0.04409752  9.571538 1.053267e-21
# x2           1.2582332 0.22653761  5.554191 2.789001e-08

x.seq   = seq(from=0, to=10, by=.1)  # this is a sequence of X values for the plot
x2.0.lo = predict(m, newdata=data.frame(x1=x.seq, x2=0), type="link") # predicted
x2.1.lo = predict(m, newdata=data.frame(x1=x.seq, x2=1), type="link") # log odds
x2.0.p  = lo2p(x2.0.lo)  # converted to probabilities
x2.1.p  = lo2p(x2.1.lo)

windows()
  layout(matrix(1:2, nrow=2))
  plot(x.seq,  x2.0.lo, type="l", ylim=c(-2,3.5), ylab="log odds", xlab="x1",
       cex.axis=.9, main="Linear predictor")
  lines(x.seq, x2.1.lo, col="red")
  legend("topleft", legend=c("when x2=1", "when x2=0"), lty=1, col=2:1)

  plot(x.seq,  x2.0.p, type="l", ylim=c(0,1), yaxp=c(0,1,4), cex.axis=.8, las=1,
       xlab="x1", ylab="probability", main="Transformed")
  lines(x.seq, x2.1.p, col="red")

En la escala del predictor lineal (es decir, las probabilidades logarítmicas), la pendiente en $X_1$ es $\approx 1.26$ si usted está sosteniendo $X_2$ en $0$ o $1$ . Eso es porque las líneas son paralelas. En cambio, en el espacio transformado, las líneas no son paralelas. La tasa de cambio en $\hat p(Y=1)$ asociado a un $1$ -cambio de unidad en $X_1$ difiere en función de si $X_2 = 0$ o $X_2 = 1$ . (También difiere según el valor de $X-1$ de la que se parte).

Answer 2

La codificación realmente no importa, porque a la hora de la verdad, los coeficientes de regresión siempre se basan en la pendiente, es decir, $\Delta y/\Delta x$ . Los factores categóricos siempre se desglosan en $k-1$ indicadores ficticios para cada $k$ -factor de nivel (codificación de puntos de esquina, nivel-1's $\Delta y/\Delta x$ va a término constante) o $k$ variables indicadoras ficticias (restricciones de suma a cero, sin término constante).

También es fundamental para la regresión el concepto de que $x$ -Los predictores no son variables aleatorias, por lo que los niveles de cada $x$ -variable se supone que son valores controlados experimentalmente, que en realidad pueden ser fijados, por ejemplo, por un variómetro. Por ejemplo, si la edad es un predictor, el modelo supondrá que a cada edad $18, 19, \ldots, 85+$ inscribió a sujetos experimentales para los que $y$ se midió. Al fin y al cabo, esto es lo que se hace para cada nivel de un factor categórico.

En cuanto a las pruebas inferenciales de hipótesis, una vez superados los problemas de codificación, hay una serie de $F$ -pruebas, que pueden emplearse para abordar su pregunta específica.

Hay una advertencia que hay que decir a los alumnos cuando aprenden la regresión, por ejemplo, de la expresión de proteínas plasmáticas en suero o de las concentraciones de minerales (elementos), y es que, en lugar de pensar en un cambio en $y$ para un cambio de una unidad en $x$ o concentración, para una pendiente positiva significativa la interpretación clínica es que los sujetos con mayor $y$ -valores tenían mayor $x$ -valores.