¿Para qué valores de $m$ y $n$ hace $\int_C z^mz^{-n}dz=0$ y para qué valores $\int_C z^mz^{-n}dz=2i\pi?$
Estoy atascado en este problema, ¿alguna pista?
Gracias
Respuesta
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Suponiendo que $C$ es un círculo unitario alrededor del origen tenemos esto. Parametrizar el círculo como $z = e^{it}$ , $t \in [0, 2\pi]$ . Entonces tenemos $$\int_C z^{m-n} dz = \int_0^{2\pi} e^{it(m-n)} (i e^{it}).$$ Ahora bien, si $m - n + 1 = 0$ el integrando es constante y obtenemos el resultado $2\pi i$ . En caso contrario, la integral desaparece.
Ahora, para la curva general, la integral sólo es distinta de cero cuando $m -n = -1$ . En ese caso, mide lo que se denomina un número de bobinado $w$ es decir, cuántas veces gira el contorno alrededor del origen, y el resultado es $2 \pi i w$ . Tuvimos un caso especial de esto en el primer párrafo donde $w = 1$ ya que el círculo rodea el origen sólo una vez.
