Una pregunta sobre la cohomología

Question

Dejemos que $X=\mathbb{P}^n$ denotan el espacio proyectivo complejo de dimensión compleja $n$ . Dejemos que $G$ denotan el Grassmanniano de líneas en $X$ . Hay un haz tautológico $P\subset X\times G,$ dado por { $(x,l) : x\in l$ }. Sea $p_X:P\rightarrow X,p_G:P\rightarrow G$ sean las restricciones de las proyecciones a $P$ . Dejemos que $[H]\in H^2(X,\mathbb{Z})$ sea una clase hiperplana, obtenida por la clase fundamental de una sección hiperplana general de $X$ (que vive en $H_{2n}(X,\mathbb{Z})\cong H^2(X,\mathbb{Z})$ por la dualidad de Poincare).

Si $m,m'$ denota la dimensión compleja de $P , G$ respectivamente, observe que $p_X ^{*}([H])\in H^2(P,\mathbb{Z})\cong H_{2m-2}(P,\mathbb{Z}),$ y $2m-2 = 2m'$ desde $P$ es un haz de líneas proyectivas sobre $G$ . Así que $p_{G*}(p_X ^{*}([H]))\in H_{2m'}(G,\mathbb{Z}).$

Ahora, en un artículo que estoy leyendo, han escrito que tomar el producto de la tapa de $p_{G*}(p_X ^{*}([H]))$ con alguna clase de cohomología devuelve la misma clase (Aquí hemos identificado las clases de homología y cohomología adecuadas utilizando la dualidad de Poincare).

Así que mi pregunta es la siguiente: ¿ $p_{G*}(p_X ^{*}([H]))$ dan la clase fundamental de $G$ ? (tomando G como una colector orientable compacto)

Cualquier ayuda será apreciada.

Answer 1

Lo primero que hay que tener en cuenta es que $p_X^*([H])$ es el dual de Poincare de la clase $[p_X^{-1}(H)]$ . Hay varias maneras de ver esto. Una de ellas es darse cuenta de que $[H]$ como la clase euler de $\mathcal{O}(1)$ en $\mathbb{P}^n$ . Así que $p_X^*([H]) = e(p_X^*\mathcal{O}(1))$ . La clase Euler viene dada por el lugar cero de una sección genérica. Se puede tomar el pullback de una forma lineal $L$ (hay que comprobar que es "genérico", en el sentido de que se cruza transversalmente con la sección cero), y evaluar su lugar cero. Su lugar cero en este caso es $(x,l)$ tal que $L(x)=0$ . Así que terminas con $p_X^{-1}(H)$ . (bueno, posiblemente con una H diferente que sea linealmente equivalente).

Aquí hay un hilo de MO que discute esto (pullback de clases de homología, cuestiones de transversalidad) en mayor generalidad: https://mathoverflow.net/questions/115764/pullback-map-in-homology .

Otra forma es observar que este $P\rightarrow X$ es un haz proyectivo (en particular, es un morfismo plano), y se puede aplicar el pullback plano para los grupos de Chow.

Lo que queda es calcular el grado del mapa $p_X^{-1}(H) \rightarrow G$ . Pero observe que la preimagen de un punto $[L] \in G$ es la única intersección de $H$ y $L$ en $\mathbb{P}^n$ . Así que esto es un grado $1$ mapa, por lo tanto $p_{G*}(p_X^*([H])) = [G]$ .