Demostrar que cualquier $T_1$ el espacio vectorial topológico es regular

Question

Propuesta

Para un $T_1$ espacio $(X,\mathscr T)$ las tres condiciones siguientes son equivalentes:

1. X es regular;
2. para cualquier $x\in X$ y cualquier $U$ que lo contiene existe una vecindad abierta de $x$ tal que $V\subseteq\overline V\subseteq U$ ;
3. cualquier $x\in X$ tiene una base local cuyos elementos son cerrados.

Teorema

Supongamos que $K$ y $C$ son subconjuntos disjuntos de un espacio vectorial topológico X tal que K es compacto y C es cerrado. por lo que existe una vecindad simétrica (abierta) $V$ de $0$ tal que $$ (K+V)\cap(C+K)=\emptyset $$

Corolario

Que sea $X$ un espacio vectorial topológico. Si $\mathscr B(0)$ es una base local (abierta) centrada en $0$ entonces cualquiera de sus elementos contiene el cierre de otro elemento.

Así que conociendo estos resultados me pregunto si algún $T_1$ El espacio vectorial topológico también es regular y por eso dispuse los siguientes argumentos. Si $U$ es un conjunto abierto que contiene $x$ entonces $U-x$ es un conjunto abierto (¡cualquier raslación es un homeomorfismo!) que contiene $0$ y por lo tanto existe una vecindad abierta $V$ de $0$ cuyo cierre está contenido $U-x$ para que $V+x$ es un conjunto abierto que contiene $x$ cuyo cierre está contenido en $U$ y, por tanto, la afirmación se deduce inmediatamente de la proposición mencionada anteriormente. Entonces, ¿es cierto el argumento y son correctos mis argumentos? ¿Podría alguien ayudarme, por favor?

Answer 1

Su argumento es correcto. También puedes aplicar el teorema directamente: si $x\in U\subseteq X$ , donde $U$ está abierto, entonces $\{x\}$ es compacto, y $C=X\setminus U$ es cerrada y disjunta de $\{x\}$ , por lo que hay un nbhd abierto $V$ de $0$ tal que $(x+V)\cap(C+V)=\varnothing$ . Pero entonces $C+V$ es un nbhd abierto de $C$ Así que $F=X\setminus(C+V)$ es un subconjunto cerrado de $U$ y $x+V$ es un nbhd abierto de $x$ tal que $\operatorname{cl}(x+V)\subseteq F\subseteq U$ .