Si $$\text {I}=\int_0^{\infty} \frac {x}{1+e^x} \, dx $$ y $\sum _{i=1}^n \frac {1}{k^2}=\frac {\pi^2}{6} $ Me parece que esta integral no necesita ser resuelta analíticamente, sino que debe ser convertida en suma para que podamos utilizar la siguiente información dada. El único paso que he dado es $$\text {I}=\lim_{n\to \infty} \int _0^n \frac {x}{1+\sum_{i=0}^n \frac {x^n}{n!}}\, dx$$
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- Cómo encontrar $ \int_0 ^ \infty \dfrac x{1+e^x}\ dx$ (5 respuestas )
- Encontrar la integral de $\frac{x}{e^x + 1}$ (3 respuestas )
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\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\infty} \frac{x dx }{ e^x-1} &=& \int_{0}^{\infty}\sum_{i=0}^{\infty} x e^{-(i+1)x} dx \\ &=& \sum_{i=0}^{\infty} \int_{0}^{\infty} x e^{-(i+1)x} dx \\ &=& \sum_{i=0}^{\infty} \frac{1}{(i+1)^2} = \frac{\pi^2}{6}. \\ \end{eqnarray*} O \begin{eqnarray*} \int_{0}^{\infty} \frac{x dx }{1+ e^x} &=& \int_{0}^{\infty}\sum_{i=0}^{\infty} (-1)^ix e^{-(i+1)x} dx \\ &=& \sum_{i=0}^{\infty} (-1)^i\int_{0}^{\infty} x e^{-(i+1)x} dx \\ &=& \sum_{i=0}^{\infty} \frac{(-1)^i}{(i+1)^2} = \frac{\pi^2}{12}. \\ \end{eqnarray*}
Editar: \begin{eqnarray*} \frac{1}{e^x-1} =\frac{1}{e^x} \frac{1}{(1-e^{-x}) } =\sum_{i=0} ^{\infty} e^{-(i+1)x}. \end{eqnarray*}
Sugerencia para $ x>0$ tenemos $0\le e^{-x}<1$ entonces tenemos
$$\frac {1}{1+e^x} =\frac { e^{-x}}{1+e^{-x}} =\sum_{n=0}^\infty (-1)^n e^{-(n+1)x}$$
A partir de esto tenemos $$I=\int_0^{\infty} \frac {x}{1+e^x} \, dx =\sum_{n=0}^\infty (-1)^n \int_0^{\infty} xe^{-(n+1)x}\, dx$$ De usted puede obtener fácilmente el resultado después de la integración por parte..
