Si $M$ es un colector cerrado no orientable con una única $n$ -entonces el subgrupo de torsión de $H_{n-1}(M;\mathbb{Z})$ es $\mathbb{Z}_2$

Question

El siguiente es un pasaje parafraseado de las páginas 238-239 del libro de Topología Algebraica de Hatcher.

Supongamos que $M$ es una variedad conectada cerrada no orientable que tiene una estructura CW con una única $n$ -célula. Consideremos el mapa de límites ceullar $d_n : C_n(M;\mathbb{Z}) \to C_{n-1}(M;\mathbb{Z})$ . Hatcher continúa diciendo lo siguiente:

$d$ debe tomar un generador de $C_n(M;\mathbb{Z})$ a dos veces un generador $\alpha$ de un $\mathbb{Z}$ suma de $C_{n-1}(M;\mathbb{Z})$ para que $H_n(M;\mathbb{Z}_p)$ sea cero para los primos Impares $p$ y $\mathbb{Z}_2$ para $p = 2$ . La cadena celular $\alpha$ debe ser un ciclo ya que $2\alpha$ es un límite y, por tanto, un ciclo. Se deduce que el subgrupo de torsión de $H_{n-1}(M;\mathbb{Z})$ debe ser un $\mathbb{Z}_2$ generado por $\alpha$ .

Hay algunas partes de esto que me confunden.

• Puedo ver que la no orientación de $M$ implicaría que $H_n(M;\mathbb{Z}_p)$ es cero para los primos Impares $p$ y $\mathbb{Z}_2$ para $p = 2$ pero no veo por qué esto implica que $d$ debe tomar un generador de $C_n(M;\mathbb{Z})$ a dos veces un generador $\alpha$ de un $\mathbb{Z}$ suma de $C_{n-1}(M;\mathbb{Z})$
• Puedo ver que $2\alpha$ es un límite y por tanto un ciclo, pero no veo por qué $\alpha$ también debería ser un ciclo.
• No veo cómo se deduce que el subgrupo de torsión de $H_{n-1}(M;\mathbb{Z})$ debe ser un $\mathbb{Z}_2$ generado por $\alpha$ .

En cuanto al primer punto, debo decir que si considero $d : C_n(M;\mathbb{Z}_2) \to C_n(M;\mathbb{Z}_2)$ entonces el hecho de que $H_n(M;\mathbb{Z}_2) \cong \mathbb{Z}_2$ implica que $\ker d = \mathbb{Z}_2$ lo que implica que $d$ es el mapa cero que tiene el dominio $\mathbb{Z}_2$ lo que (¿supongo?) implica que $d$ es la multiplicación por $2^k$ para algunos $k$ . Pero no veo realmente cómo esto influye $d : C_n(M;\mathbb{Z}) \to C_{n-1}(M;\mathbb{Z})$ .

Answer 1

Existe un sumando directo en el que la imagen del límite $C_n(M, \mathbb Z) \to C_{n-1}(M, \mathbb Z)$ se cae. Esta imagen forma un subgrupo de algún índice $k$ allí. El mapa $\mathbb Z \to \mathbb Z_p$ induce un mapa de complejos de cadenas $C_*(M, \mathbb Z) \to C_*(M, \mathbb Z_p)$ Así que el mapa $C_n(M, \mathbb Z_p) \to C_{n-1}(M, \mathbb Z_p)$ también enviará el generador a $k$ veces el generador de este sumando, pero el sumando se verá como $\mathbb Z_p$ ahora. Para lo cual $k$ hace el mapa $\times k: \mathbb Z_p \to \mathbb Z_p$ tienen el núcleo $0$ para todos $p \neq 2$ ? Como has notado $k = 2^m.$ Mirando $H_n(M, \mathbb Z_4)$ también excluye la posibilidad $m > 1$ . Mirando $H_n(M, \mathbb Z_2)$ lleva a $m=1$ .

$d \alpha$ vive en un gratis grupo $C_{n-2}(M, \mathbb Z).$ Así que $2d \alpha =0$ implica $d \alpha =0$ .

$H_{n-1}(M,\mathbb{Z})$ es igual a $Z_{n-1}(M,\mathbb{Z})/B_{n-1}(M,\mathbb{Z}).$ El numerador es libre, y el denominador se ve allí como $2\mathbb Z$ como hemos comprobado. Esto significa que la torsión sólo vendrá de este $2\mathbb Z$ y de donde será $\mathbb Z_2.$