Estadísticas de Weibull para comprobar la importancia de la resistencia a la rotura mecánica

Question

En primer lugar, comenzaré con algunos antecedentes que pueden explicar la ignorancia que probablemente se encontrará en el resto del post. Soy un arqueólogo que intenta estudiar la resistencia a la flexión de determinados tipos de piedra antes y después de su alteración térmica. No tengo formación en ingeniería mecánica y sólo tengo una formación estadística limitada. Los pocos conocimientos que poseo son esencialmente autodidácticos. Además, este será un post muy largo.

Para este experimento seguí vagamente la norma de pruebas de la ASTM para caracterizar la resistencia a la flexión de la cerámica avanzada a temperatura ambiente. Esta norma de la ASTM exige el uso de las estadísticas de Weibull para caracterizar la resistencia a la flexión de una cerámica determinada y especifica un mínimo de 10 observaciones para calcular la media. El procedimiento de ensayo está diseñado para obtener datos de resistencia en lugar de datos del tiempo hasta el fallo .

Mi objetivo es comprobar si hay alguna significación en los módulos de Weibull y/o en las resistencias características entre mis grupos de muestras crudas y alteradas térmicamente. He calculado ambos estadísticos siguiendo un vídeo ( https://www.youtube.com/watch?v=dMOUlCOcP2U&t=1s ) que encontré en YouTube. Aquí hay algunos datos de ejemplo, seguidos de mis procedimientos y resultados. Los datos de resistencia indican la resistencia a la flexión de las muestras individuales, medida en megapascales (MPa). La resistencia a la flexión es una propiedad a granel, teóricamente independiente de las dimensiones de la muestra.

Ejemplo de datos:

Cálculos:

Estos son los datos del grupo de muestra Raw después de aplicar los procedimientos presentados en el vídeo de YouTube:

Dónde:

FLEX = Resistencia a la flexión de la muestra

F = (RANK-.5)/n [ordenado de menor a mayor]

X = LN(FLEX)

Y = LN(LN(1/(1-FLEX))

Cuando se traza, el gráfico tiene el siguiente aspecto. He realizado una regresión lineal con cada uno de los conjuntos de datos. Según tengo entendido, las pendientes de estas regresiones indican los módulos de Weibull.

Así, el módulo de Weibull del grupo crudo es de 20,874, mientras que el del grupo tratado es de 22,237.

Para calcular las fuerzas características, hice lo siguiente:

FLEXc = e^|b/Wm|

Dónde:

FLEXc = fuerza característica

b = intercepción de la regresión lineal

Wm = Módulo de Weibull

Utilizando esta fórmula, la resistencia característica resultante del grupo de muestras crudas es de 79,609 MPa, mientras que la del grupo tratado es de 86,351 MPa.

Mi pregunta general:

¿Cómo puedo utilizar estos datos para comparar de forma significativa los grupos de muestras crudas y tratadas?

Answer 1

Puede comparar sus datos utilizando un modelo de Weibull, pero el enfoque habitual no haría uso de los resultados de un Gráfico de Weibull o algo similar para estimar los parámetros.

El significado de "comparar significativamente" depende de lo que quiera averiguar exactamente y de lo que esté dispuesto a asumir.

Voy a hablar de algunas alternativas que podrían interesarle:

1. La típica comparación de Weibull de dos grupos supondría que los parámetros de forma son idénticos y que los parámetros de escala pueden explicar una diferencia en la media. Aunque normalmente no es una buena práctica mirar los datos que se están utilizando en una comparación, ya que está ahí, podemos ver que los datos parecen consistentes con tal suposición (las líneas en su gráfico de Weibull son muy cercanas a las paralelas).

   Esta comparación es fácil de realizar mediante un análisis de supervivencia.

   Me doy cuenta de que tienes puntos fuertes, no tiempos de supervivencia, pero esto es totalmente inmaterial . Los números no saben si son fuerzas, tiempos de supervivencia, velocidades del viento, importes de reclamaciones de seguros o cualquier otra cosa, el método simplemente ajusta un modelo de Weibull a los datos, sea lo que sea que los números representen.

   Utilizando un programa para ajustar un modelo de supervivencia, hacemos una regresión de la fuerza en la variable de grupo, y luego probamos la variable de grupo para la significación, utilizando una prueba de razón de verosimilitud (asintótica). Esto será aproximado en lugar de exacto, pero debería funcionar bastante bien.

   Comprueba la hipótesis de que los parámetros de la escala son iguales frente a la alternativa de que son desiguales.

   He incluido un análisis de este tipo realizado en R. Tenga en cuenta que la "escala" de survreg es 1/forma bajo la parametrización habitual (como en el artículo de Wikipedia sobre el Distribución de Weibull ) y el "intercepto" de survreg es log(scale) bajo la parametrización habitual.

   Raw <- scan()
   73.49 72.68 83.78 77.33 80.51 71.85 79.06 80.90 74.43 82.43
   
   Treated <- scan()
   82.76 86.15 88.94 82.61 79.97 88.84 89.89 82.58 83.74 87.35 74.95
   
   FlorenceAChert <- data.frame(
                         strength=c(Raw,Treated),
                         group=rep(c("Raw","Treated"),c(length(Raw),length(Treated)))
                               )
   n <- dim(FlorenceAChert)[1]
   
   chertreg <- survreg(Surv(strength, rep(1,n)) ~ group, FlorenceAChert, dist='weibull')
   summary(chertreg)
   
   Call:
   survreg(formula = Surv(strength, rep(1, n)) ~ group, data = FlorenceAChert, 
       dist = "weibull")
                  Value Std. Error      z       p
   (Intercept)   4.3780     0.0141 311.48 < 2e-16
   groupTreated  0.0784     0.0188   4.17 3.1e-05
   Log(scale)   -3.1462     0.1749 -17.99 < 2e-16
   
   Scale= 0.043 
   
   Weibull distribution
   Loglik(model)= -59.4   Loglik(intercept only)= -65.2
           Chisq= 11.56 on 1 degrees of freedom, p= 0.00067 
   Number of Newton-Raphson Iterations: 5 
   n= 21 

   ---

   Vemos que el valor p para el grupoTratado es de 0,000031. A cualquier nivel de significación típico, se rechazaría la hipótesis nula de parámetros de escala iguales.

   Además, la escala ajustada para el tratamiento es positiva, es decir, vemos que el tratamiento es más fuerte que el crudo.

   Si quiere estimar las medias, las estimaciones de los parámetros de la escala o las estimaciones de determinados cuantiles, tendrá que trabajar un poco más, pero no es difícil de hacer. Por ejemplo, las resistencias características ajustadas son 79,68 MPa y 86,18 MPa y el módulo de Weibull común ajustado (forma) es 23,25.

   

2. En lugar de ello, es posible que desee comprobar cualquier diferencia en la distribución; esto implicaría probar las diferencias en ambos parámetros. Una vez más, buscaríamos hacer una prueba de razón de verosimilitud, aunque es un poco más complicada que la anterior.

3. Es posible que quiera probar una diferencia (ya sea en la escala o en la distribución) sin asumir una forma distributiva específica. Existen pruebas no paramétricas que podrían utilizarse en ambos casos.

4. Se podría considerar una prueba de permutación del parámetro de escala basada en su gráfico de Weibull, ajustando una pendiente común pero interceptos separados, pero tendrá menor potencia (y sería un poco más complicado de llevar a cabo que una simple regresión de Weibull como en el punto 1).

Answer 2

Dada:

" FLEX = Resistencia a la flexión de la muestra

F = (FLEX-.5)/10 [ordenado de menor a mayor]

X = LN(FLEX)

Y = LN(LN(1/(1-F)))"

Tenemos

X = LN(FLEX) = f(FLEX)

Y = LN(LN(1/(1-F))) = Y = LN(LN(1/(1- (FLEX-.5)/10))) = g(FLEX) = g(f $^{-1}$ (X)) =h(X)

Así que tu Y y X están vinculados por una función h, y esta relación está determinada y no tiene ningún componente aleatorio. Así que tu pregunta no pertenece a la estadística.