Intersección de subcomplejos

Question

Vale, intuitivamente está claro que la intersección de dos subcomplejos de un complejo CW debería ser también un subcomplejo, pero leyendo la definición inductiva de un complejo CW, en ningún sitio dice que una célula deba estar unida a otra célula entera, es decir: parece implicar que podría, por ejemplo, unir una célula 2 a un punto en medio de una célula 1 como si hubiera una célula 0 allí. Pero entonces la intersección de la célula 1 y la célula 2 en cuestión sería un punto que no es una célula 0, y por tanto no es un subcomplejo.

¿Me he perdido algo de la definición?

Answer 1

En mi opinión, el tratamiento que hace Hatcher de los complejos celulares deja de lado muchos de los tecnicismos (que son importantes, teniendo en cuenta que los complejos CW son objetos técnicos por diseño). Hay dos cosas importantes a tener en cuenta:

1. Un subcomplejo es un cerrado subespacio
2. Las células son Abrir por definición

Así que la célula 2 a la que te refieres no es en realidad un subcomplejo. Para que lo sea, tienes que incluir todos sus puntos límite (que son todos los puntos en los que se une al marco 1). Pero un subcomplejo está formado por celdas enteras, por lo que el subcomplejo debe incluir todas las celdas a las que se adhiere la celda 2 (en tu ejemplo, tienes que incluir toda la celda 1). Y así se va descendiendo en cascada hasta llegar a las celdas 0 que "soportan" el subcomplejo.

Así, la célula 1 -aunque no es un subcomplejo en sí misma- "generaría" el subcomplejo formado por ella misma y sus extremos. Del mismo modo, la célula 2 genera el subcomplejo formado por ella misma, la célula 1 y los dos extremos de la célula 1. De aquí se deduce que la intersección es de nuevo un subcomplejo.