Supongamos que se han generado dos puntos aleatorios en un espacio d-dimensional mediante un muestreo uniforme de un cubo unitario centrado en el origen. ¿Cómo calcular el ángulo esperado entre ellos?
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fabio_vac
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El ángulo esperado entre dos vectores generados aleatoriamente en un espacio n-dimensional ( $n>1$ ) es de 90 grados. $P(x.y=a)=P(x.y=-a)$ desde $P(y)=P(-y)$ desde $y$ es un vector aleatorio. Así, $P(cos(\theta) = b) = P(cos(\theta) = -b)$ y $P(\theta = 90+c) = P(\theta+ 90-c)$ . Así,
$\int_{0}^{180} \theta P(\theta) d \theta = \int_{0}^{180} (\theta-90) P(\theta) d \theta + 90 \int_{0}^{180} P(\theta) d \theta = 0 + 90 \times 1 = 90$
donde la primera integral desaparece porque
$\int_{0}^{180} (\theta-90) P(\theta) d \theta = \int_{0}^{90} (\theta-90) P(\theta) d \theta + \int_{90}^{180} (\theta-90) P(\theta) d \theta = 0$
las dos integrales toman valores opuestos debido a la simetría. Obsérvese que $\int_{0}^{180} P(\theta) d \theta =1$ .
ploosu2
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2403
Puede fijar uno de los vectores para que esté (por ejemplo) en el $x_1$ -eje. Llamemos al otro vector $y = (y_1, y_2, \dots, y_d)$ .
Calculemos el valor expexto del producto interior de los dos vectores (como esto define el ángulo, la normalización no importa realmente). Como hemos fijado que el otro vector es $(1,0,0\dots, 0)$ se convierte en
$$\int_{-a}^a y_1 \space dy_1= 0$$
El ángulo esperado es $\arccos 0 = \frac{\pi}{2}$ .
