Cómo encontrar los puntos de intersección de los círculos dibujados un círculo mayor

Question

En primer lugar, perdón por el torpe título. No tengo ni idea de cómo debería llamarse este problema. Resumiendo, estoy trabajando en un software que simula satélites que monitorean visualmente la basura espacial en órbita, y necesito calcular la distancia máxima de una órbita circular a otra que puede ser cubierta completamente por las cámaras de los satélites si tengo n satélites igualmente espaciados y con un alcance efectivo d que siempre da lugar a un solapamiento.

Para simplificar, si tengo dos círculos pequeños y superpuestos dibujados con sus puntos centrales en un círculo más grande como se muestra en este diagrama ¿Cómo puedo encontrar la distancia desde el centro del círculo mayor hasta los puntos de intersección de las áreas efectivas de los satélites, tal como se muestra en los círculos rojos? en este diagrama . Estoy tratando de encontrar los dos círculos mostrados en rojo que pasan por los puntos E y F . Además, ¿cuáles son algunos buenos términos de búsqueda para este tipo de problema? Con el tiempo necesitaré hacer versiones más complejas (realistas) de este problema.

Answer 1

Dejemos que $G$ sea el punto medio de ambos $\overline{CD}$ y $\overline{EF}$ y definir $r = AD$ y $\theta = m\angle DAG = \pi/n$ . Entonces $AG = r \cos \theta$ y $DG = r\sin \theta$ . Las longitudes de los lados del triángulo rectángulo $\triangle DGE$ satisfacer $DG^2 + EG^2 = DE^2$ Así que $EG^2 = d^2 - r^2 \sin^2 \theta$ . Por lo tanto, \begin{equation} AE = r \cos \theta - \sqrt{d^2 - r^2 \sin^2 \theta}, \quad \text{and} \quad AF = r \cos \theta + \sqrt{d^2 - r^2 \sin^2 \theta}. \end{equation}