Cómo demostrar que en $\{0\} \cup \{1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, ...\}, 0$ no está aislado

Question

(Como subconjunto de $\mathbb{R}$ .) Tengo problemas para demostrar que $0$ no es un punto aislado. Si existe una bola abierta de radio $\epsilon$ sobre $0$ Tengo que encontrar un punto de la forma $\frac{1}{k}$ dentro de ese balón abierto, pero no puedo mostrar esto. Así que tenemos una bola abierta $\{x : |x| < \epsilon\}$ y necesito demostrar que existe un punto de la forma $\frac{1}{k}$ en este conjunto, no importa lo pequeño que sea $\epsilon$ es. Supongamos que no existe tal punto, por lo que $\frac{1}{k} > \epsilon$ para todos $k \in \mathbb{N}$ . Así que entonces $\frac{1}{\epsilon} > k$ para todos $k \in \mathbb{N}$ pero esto no parece ayudarme ya que si $\epsilon$ es un pequeño $\mathbb{R}$ número, entonces $\frac{1}{\epsilon}$ es un número enorme.

Answer 1

Dejemos que $S := \{ 0 \} \cup \{ \frac{1}{n} \mid n \in \mathbb{N} \}$ . Entonces, como $\frac{1}{n} \to 0$ como $n$ crece, por cada $\delta > 0$ hay algo de $N \in \mathbb{N}$ tal que $\frac{1}{n} < \delta$ para todos $n \geq N$ , es decir por cada $\delta > 0$ el barrio $N(0,\delta)$ contiene un número infinito de $\frac{1}{n}$ contradiciendo la definición de punto aislado, por lo que $0$ no está aislado en $S$ .

Answer 2

No importa lo pequeño que sea $\epsilon$ es que hay infinitas $k$ tal que $\frac 1{\epsilon}<k$ por lo que el intervalo abierto $(-\epsilon,\epsilon)$ para la arbitrariedad $\epsilon$ aplicar para probar su pregunta.