Origen del bien pedida prueba de unicidad en el FToArithmetic

Question

En el Apéndice a Ivan Niven del libro "Números: Racionales e Irracionales", que demuestre el Teorema Fundamental de la Aritmética (FToA) sin el uso de Euclides el Lema de que si un primo divide a un producto, a continuación, divide uno de los factores del producto. Niven de la prueba en su lugar utiliza bien el pedido.

Él asume que m es el menor entero positivo con dos diferentes prime factorizations, dicen

$$ m=p_1 p_2 p_3 \ldots p_r \qquad \text{and} \qquad m=q_1 q_2 q_3 \ldots q_s $$

Normalmente, Euclides del Lema ahora se invoca repetidamente a decir que cada uno de los prime en una factorización de un número debe producirse también en cualquier otro, dando una contradicción. (O más generalmente, esta idea se reescribe como una prueba directa.)

Niven en su lugar pasa diciendo que los dos factorizations no puede tener un primo en común, ya que si lo hicieran, se podría suponer sin pérdida de generalidad que p_1 = q_1. A continuación, $m/p_1$ sería un entero positivo menor que $m$ con los dos diferentes factorizations

$$ m/p_1 = p_2 p_3 \ldots p_r \qquad \text{and} \qquad m/p_1 = q_2 q_3 \ldots q_s, $$

una contradicción.

Así que, sin perder generalidad, podemos suponer que $p_1 < q_1$. Niven procede a mostrar que el número de $(q_1 - p_1) q_2 q_3 \cdots q_s$ es un entero positivo menor que $m$ con dos diferentes prime factorizations --- uno que contenga $p_1$ como un factor y el otro no. Esta contradicción demuestra la singularidad parte de la FToA.

Mi pregunta es, que dieron origen a esta prueba?

Answer 1

Creo que la prueba es debido a Ernst Zermelo. Que apareció en la impresión en 1934, Elementare Betrachtungen zur Theorie der Primzahlen, Nachr. Gesellsch. Wissensch. Göttingen 1, (1934), 43-46. Un análisis crítico, junto con una traducción al inglés, puede ser visto en Ernst Zermelo. Obras completas - Gesammelte Werke, vol. I: La Teoría De Conjuntos, Miscellanea - Mengenlehre, Varia. Heinz-Dieter Ebbinghaus, Akihiro Kanamori, eds. Springer, 2010.

Zermelo los estados que comparten la prueba tan pronto como el año 1912 con Hurwitz y Landau, quien indicó que el argumento de que era nuevo.

Der vorstehende Beweis ist eine leichte Abänderung eines früheren Beweises, den ich ya mu 1912 verschiedenen Arithmetikern wie A. Hurwitz und E. Landau brieflich mitgeteilt hatte, ohne daß sie sich seiner Präexistenz in der Literatur erinnert hätten.

La prueba establecido aquí es una versión ligeramente modificada de la anterior prueba que he comunicado a varios arithmeticians tales como: A. Hurwitz y E. Landau por escrito tan pronto como alrededor de 1912, sin evocar a partir de ellos recuerdo como si ya existía en la literatura.

(He visto que otros afirman que Zermelo tenía el argumento ya en 1901, pero esto parece sin fundamento.)

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Como Pete señala en su respuesta, Lindemann publicado en 1933 esencialmente el mismo argumento, obtenido de forma independiente. La referencia es F. Un Lindemann, La Única Factorización de un número Entero Positivo, Cuarto de galón. J. Math. 4, (1933), 319-320.

Answer 2

La prueba parece ser debido a Lindemann (1933) y Zermelo (1934), de forma independiente. Ver el comienzo de esta nota para las referencias.

Extrañamente, el resultado aparece antes en la literatura: en 1928, el papel de Hasse. Así, en un proyecto anterior de la loc. cit. Me he referido a la "Hasse-Lindemann-Zermelo prueba". Pero en realidad el argumento era conocido por Zermelo en 1912: véase la nota a pie de página en la parte inferior de la p. 4 de la loc. cit. para más información sobre esto.