Encontrar la distribución marginal

Question

Tengo la siguiente pregunta:

y le pide que encuentre la distribución de $\text{Y}$ .

No entiendo muy bien la solución que se ha dado:

Tengo algunas preguntas:

(1) Puede que sea una pregunta tonta, pero ¿cómo podemos saber que todos los valores posibles de $y$ es $y=1,2,\dots$

(2) Para encontrar el pmf marginal de $\text{Y}$ sumamos el pmf conjunto sobre todos los valores posibles de $x$ . ¿Por qué la suma comienza en $x=y$ ? ¿Por qué la suma no va de $x=1$ hasta el infinito?

(3) De la segunda línea a la tercera línea en la solución, ¿cómo nos deshacemos de la suma, y dónde está el $(1 + (1-p) + (1-p)^2 + \dots)$ ¿de dónde viene?

Gracias de antemano

Answer 1

Respecto a (1): Supongamos que algunos $y\leq 0$ tiene masa, es decir, $f_Y(y)>0$ . Entonces, para cualquier $x\geq 1$ tienes $f_{Y|X}(y| x)=0$ debido a la distribución uniforme en $\{1,...,x\}$ . Por lo tanto, el lado derecho es $0$ y, por lo tanto, $0<f_Y(y)=0$ . Así que no tiene sentido $y\leq 0$ puede tener masa.

A (2): si $x<y$ en la suma, entonces por distribución uniforme en $\{1,...,x\}$ y $y > x$ el término $f_{Y|X}(y| x)=0$ . Así que omite todos estos términos en la suma.

Finalmente (3): $\sum_{x=y}^{\infty} (1-p)^{x-1} = \sum_{x=0}^{\infty} (1-p)^{x+y-1} = (1-p)^{y-1}\sum_{x=0}^{\infty} (1-p)^{x} = (1-p)^{y-1}\dfrac{1}{p}$ . La notación utilizada en la prueba es sólo una forma informal de escribir $\sum_{x=0}^{\infty} (1-p)^{x}$