Reclamación en Rudin 3.36

Question

En la página 68 afirma:

Más concretamente: Siempre que la prueba de proporción muestra convergencia, la prueba de raíz también lo hace; siempre que la prueba de la raíz no sea concluyente, la prueba de la proporción es demasiado .

Me cuesta ver por qué esto es cierto. Considere la serie $a_n = 1$ . Entonces, por el teorema 3.33 (c) en p65 la prueba de la raíz no es concluyente. Pero por el teorema 3.34 (b) en p66 la prueba de la relación muestra divergencia. ¿No es esto un contraejemplo?

Answer 1

Su observación es correcta. El hecho de que \begin{equation} \limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{a_n} = 1 \end{equation} implica que la prueba de la raíz no da ninguna información, según el Teorema 3.35 (c).

Desde \begin{equation} \left\lvert \frac{a_{n+1}}{a_n} \right\rvert \geq 1, \quad \forall n\in \mathbb{N}, \end{equation} lo que implica \begin{equation} \liminf_{n\to\infty}\left\lvert \frac{a_{n+1}}{a_n}\right\rvert \geq 1, \end{equation} El teorema 3.34 (b) concluye efectivamente que $\sum a_n$ diverge. Esto también se puede ver fácilmente a partir de $\lim_{n\to\infty}a_n\neq 0$ .

Así que la cuestión es la interpretación de las Observaciones 3.36 de Rudin en la página 68. Creo que quiso decir que en base a $\limsup_{n\to\infty}\left\lvert \frac{a_{n+1}}{a_n} \right\rvert\geq 1$ por sí sola, la prueba de relación como en el Teorema 3.34 no dice nada sobre la convergencia o divergencia de $\sum a_n$ . Esto se puede confirmar por el contexto, en concreto, por los ejemplos que dio en 3.35.

Answer 2

En su ejemplo ambos las pruebas no son concluyentes: $$\lim_{n\to\infty}\root n\of a_n=\lim_{n\to\infty}\root n\of 1=1,$$ $$\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{1}=1.$$

Answer 3

Como siempre, Rudin (requiescat in pace) es un poco críptico y espera mucho de sus lectores. La serie de ejercicios Ej. 3.6.7-3.6.16 en Análisis real elemental desarrolla este tema (pero marcamos algunos de ellos como "avanzados"; si estás estudiando a Rudin, entonces eres avanzado). Si Rudin le molesta de vez en cuando, tal vez encuentre el material equivalente aquí un poco menos.