¿Cuál es el cociente entre todas las fracciones distintas y todos los pares de naturales distintos?

Question

He estado pensando en esto últimamente. Claramente, $|\mathbb{N}| = |\mathbb{N}\times\mathbb{N}|$ y los racionales son iguales en número a los enteros, que es igual en número a los pares de enteros, desde el punto de vista de la teoría de números.

¿Pero qué pasa si tomamos límites? Claramente

$$\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{|[n]\times[n]|}{|[n]|} = \infty$$ donde $[n]={1,2,3,\dots,n}$ Pero, ¿qué es?

$$\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{|[n]\times[n]|}{|\mathbb{F}_n|}$$ donde $\mathbb{F}_n$ es el conjunto de todos los totalmente reducidos y distintos fracciones con numerador y denominador menores o iguales a $n$ ?

Answer 1

Estás contando la proporción entre todos los pares de enteros positivos y los pares coprimos de enteros positivos. Esta proporción es igual a $\pi^2/6$ (el valor de $\zeta(2)$ ).

El cómputo se puede encontrar en muchos lugares; wikipedia da un esbozo.

Answer 2

Si nos limitamos a elegir sólo $\frac{a}{b}$ donde $a\le b$ , entonces podemos contar como $$\frac{n+{n\choose 2}}{|G_n|}=\frac{n^2+n}{2|G_n|}$$ donde $G_n$ representan el Secuencia de Farey de orden $n$ . Utilizando la aproximación $|G_n|\approx \frac{3n^2}{\pi^2}$ nos permite reproducir el resultado de Matt E.

Seguimiento: Hay ${n\choose 2}$ con $a<b$ y $n$ con $a=b$ . Aunque esto restringe las fracciones contadas a $[0,1]$ , estas son asintóticamente la mitad de las fracciones contadas por el OP's $F_n$ .

Answer 3

El numerador es claramente $n^2$ .

Para el denominador, véase, $|F_n|=\displaystyle\sum_{p,q\leq n,(p,q)=1}1=\displaystyle\sum_{p,q \leq n}\displaystyle\sum_{d|(p,q)}\mu(d)=\displaystyle\sum_{d\leq n}\displaystyle\sum_{r,s\leq n/d}\mu(d)=\displaystyle\sum_{d\leq n}\mu(d)[\frac{n}{d}]^2$ $=2\displaystyle\sum_{d\leq n}\varphi(d) -1=\frac{6n^2}{\pi^2}+O(n\log n)$

Por lo tanto, $\displaystyle\lim_{n\to \infty}\frac{n^2}{|F_n|}=\frac{6}{\pi^2}$