(a)Demuestre que un producto de números de la forma $4k+1$ también tienen esta forma.
Fácil: usar la aritmética modular: $a_1 a_2 \cdots a_n = 1\cdot 1\cdots1 = 1\ \pmod 4$ .
(b)Deduce que si $n=-1 \pmod 4$ y $n>0$ entonces $n$ debe tener un factor primo $q=-1 \pmod 4$ .
Por el teorema fundamental de la aritmética $n$ se puede escribir como un producto de primos. He dicho que todo primo es de la forma $4k-1$ o $4k+1$ desde $4k+2$ y $4k$ no pueden ser primos (son divisibles por $2$ ) y $4k+3 = 4(s+1)-1$ . Pero desde arriba un producto de número de la forma $4k+1$ tienen la forma $4k+1$ . Así que n debe tener un factor primo de la forma $4k-1$ .
(c) Demuestre que para $m\geq 4$ , $n=m!-1$ tiene un factor primo $q=-1\pmod 4$ y $q>m$ . Deducir que los primos de la forma $4k-1$ son infinitas.
$n=m!-1$ significa $n=-1\pmod 4$ desde $4$ es un factor de $m!$ para $m\geq4$ . La parte del factor primo se deduce de la parte (b). Tuve algunos problemas para demostrar $q>m$ . Intenté un argumento de contradicción: Supongamos que $q\leq m$ . Entonces, se $m1$ y $m4$ . ¿Contradicción? O $m=2$ no da factores primos. Supongo que la parte infinita se desprende de $q>m$ ?
(d) ¿Qué ocurre si sustituimos el 4 por el 6 o por el 8 en las partes a,b,c. Me parece que se aplican los mismos resultados, pero no estoy seguro.
