Múltiples combinaciones de un mismo conjunto

Question

Supongamos que tengo un único conjunto de 9 elementos {A, B, C, D, E, F, G, H, I} y que necesito crear 3 grupos de 3 elementos cada uno. Sé que puedo hacer:

9C3 * 6C3 * 3C3 y que son 1680 combinaciones diferentes pero en esas combinaciones pueden aparecer {{A, B, C}, {D, E, F}, {G, H, I} } y {{D, E, F}, {G, H, I}, {A, B, C}} .

¿Cuál es la fórmula para calcular esto? Tengo la idea de que tengo que dividir por algo por no sé por qué.

Answer 1

Su razonamiento muestra que hay $\binom{9}{3}\binom{6}{3}\binom{3}{3}$ maneras de dividir a nuestra gente en tres equipos de tres personas cada uno, uno de los equipos para llevar uniformes azules, uno para llevar blanco y otro para llevar rojo.

Cada división del "campamento nudista" en equipos da lugar a $3!$ divisiones en equipos uniformados. Así que si $N$ es el número de divisiones del campo nudista, entonces: $N=\frac 1{3!}\binom{9}{3}\binom{6}{3}\binom{3}{3}$ .

Observación: Alternativamente, alinear a nuestra gente en orden de edad, o número de estudiante, o lo que sea. La primera persona puede elegir al resto de su equipo en $\binom{8}{2}$ maneras. La primera persona no elegida puede entonces elegir al resto de su equipo en $\binom{5}{2}$ formas. Así que el número de formas es $\binom{8}{2}\binom{5}{2}$ .

Answer 2

Hay $9 \choose 3$ formas de seleccionar el $3$ letras para el primer grupo, entonces hay $6 \choose 3$ formas de elegir $3$ letras para formar el segundo grupo. Y las restantes $3$ letras estarán automáticamente en el grupo con las seis primeras letras elegidas. Así que la respuesta es: $9 \choose 3$$ | tiempos $ $ 6 \N - Elige 3$ maneras.