Dejemos que $x\in X$ sea un punto no reducido. Entonces puedo encontrar un nilpotente $f\in \Gamma(U, \mathcal O_X)$ , donde $U$ es una vecindad abierta de $x$ . También sé que cuando $X$ se supone que es cuasicompacto, cada punto tiene un punto cerrado en su cierre. Ahora bien, si el $\operatorname{cl} (x) \subset U$ Ya he terminado. Pero, ¿cómo puedo proceder si no es así? ¿Puedo encontrar un $W\supset \bar U$ y $\tilde f$ tal que $\operatorname{res_{W\rightarrow U}} \tilde f = f$ ?
Respuestas
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Dejemos que $x$ sea un punto no reducido y que $y$ sea un punto cerrado que se encuentra en el cierre de $\{x\}$ . Dejemos que $U=\mathrm{Spec}(A)$ sea un afín abierto alrededor de $y$ por lo que necesariamente tenemos también $x\in U$ . Dejemos que $\mathfrak{p}_x$ y $\mathfrak{p}_y$ sean los correspondientes primos de $A$ . Entonces $\mathfrak{p}_x\subseteq\mathfrak{p}_y$ y $A_{\mathfrak{p}_x}=\mathscr{O}_{U,x}=\mathscr{O}_{X,x}$ es una localización de $A_{\mathfrak{p}_y}=\mathscr{O}_{U,y}=\mathscr{O}_{X,y}$ . Dado que las localizaciones de los anillos reducidos son reducidas, $y$ debe ser un punto no reducido.
adrido
Puntos
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Se puede tratar de inducir sobre el número de componentes en una cubierta de $X$ con subesquemas afines abiertos $X=\cup_{i=1}^n X_i$ . Su argumento funciona en el caso $n=1$ . Supongamos ahora que $x\in X_1$ y considerar un punto $\tilde{x}$ en el cierre $\bar x$ de $x$ dentro de $X_1$ . Tenga en cuenta que $\tilde{x}$ es un punto no reducido. Si se trata de un punto cerrado de $X$ entonces ha terminado. De lo contrario, el cierre de $\tilde{x}$ no está contenida en $X\backslash X_1$ (es decir, una especialización de $\bar{x}$ no puede aterrizar en el interior $X_1$ ). Así que podemos sustituir $X$ por $X\backslash X_1$ y $x$ por $\tilde{x}$ . Tenga en cuenta que $X\backslash X_1$ es cuasi-compacto y usamos la inducción para completar la prueba.
