Demostrar la ecuación $(ad-bc)(a-c)^2 = (b-d)^3$ , si los polinomios tienen raíz común

Question

$$\begin{split} W(x) &= x^3 + ax + b \wedge a,b \in \mathbb{R} &\wedge \mathbb{D}_W &= \mathbb{R}\\ G(x) &= x^3 + cx + d \wedge c,d \in \mathbb{R} &\wedge \mathbb{D}_G &= \mathbb{R} \end{split}$$ Pruébalo: $$\left(\exists p \in \mathbb{R}\right)\left(W(p) = 0 = G(p)\right) \Longrightarrow \left((ad-bc)(a-c)^2 = (b-d)^3\right)$$

No puedo probarlo. Es obvio que si $p = 0$ causa $d=b=0$ . Pero por lo demás no veo solución. ¿Cómo puedo probarlo?

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Me he dado cuenta de que $pa+b =cp+d$ Así que $(b-d) = p(c-a)$ . Por lo tanto, $(b-d)^3 = %p^2(c-a)^2(b-d)= (a-c)^2 \cdot p^2(b-d)$ .

Ahora sólo tengo que mostrar, que $p^2(b-d) = (ad-bc)$ . Lo he intentado ( $b \neq d)$ mostrar eso: $$\frac{ad}{b-d} - \frac{bc}{b-d} = p^2$$ De la primera observación, si $c \neq a$ , $p^2 = \left( \frac{b-d}{c-a} \right)^2$ pero ahora no sirve para nada. No veo el siguiente paso. ¿Puedes mostrarme cómo debo terminar esa prueba?

Answer 1

Dejemos que $y$ sea la raíz común. Entonces tenemos $$y^3 + ay+b = 0 \text{ and }y^3+cy+d = 0$$ Esto significa que tenemos $$ay+b = cy+d \implies y = \frac{d-b}{a-c}$$ Por lo tanto, $$\left(\frac{d-b}{a-c}\right)^3 + a \left(\frac{d-b}{a-c}\right) + b = 0$$ Esto nos da $$(d-b)^3 + a(d-b)(a-c)^2 + b(a-c)^3 = 0 \implies (b-d)^3 = (a-c)^2(ad-ab+ba-bc)$$ lo que simplifica lo que usted busca.

Answer 2

Ponga el valor de $p$ en cualquiera de las ecuaciones, digamos la primera que se obtenga, $$(b-d)^3=b(a-c)^3-(a-c)^2a(b-d)=(a-c)^2(ab-bc-ab+ad)=(a-c)^2(ad-bc)$$