Razón conceptual ¿por qué un campo cuadrático tiene $-1$ como una norma si y sólo si es un subcampo de una extensión de $\mathbb{Z}/4$?

Question

He convencido a mí misma en un cálculo pesado, ad-hoc, de manera que una extensión cuadrática $K$ $\mathbb{Q}$ se presenta como la única cuadrática subcampo de una $\mathbb{Z}/4$-extensión de la $\mathbb{Q}$ si y sólo si $N_{K/\mathbb{Q}}(x)=-1$ algunos $x\in K$. (Vea abajo para la prueba croquis). Debe haber una manera más conceptual iluminando la prueba?

Moralmente / conceptualmente, ¿por qué es que una ecuación cuadrática campo se produce dentro de un ciclo de grado 4 campo si y sólo si -1 se produce en ella como una norma?

¿Cuál es la historia aquí? Una respuesta óptima sería una prueba de que no le pide al lector a seguir, la confianza, o replicar los cálculos. (En contraposición a la siguiente, donde he escrito "cálculo muestra" cerca de 5 veces).

Computación-pesado, ad-hoc con la prueba de dibujo: $\Rightarrow$ Si $K=\mathbb{Q}(\alpha)$$\alpha^2\in \mathbb{Q}, \alpha\notin\mathbb{Q}$, e $\exists x\in K$$N_{K/\mathbb{Q}}(x)=-1$, tenemos $x=a+b\alpha$, $a,b\in\mathbb{Q}$, con $N(x)=a^2-\alpha^2b^2 = -1$. Deje $\beta = \sqrt{\alpha^2b-a\alpha}$ y deje $L=K(\beta)$. Luego, mediante cálculo, $\beta$ satisface el polinomio $$f=x^4-2\alpha^2bx^2+\alpha^2\in\mathbb{Q}[x]$$ que es irreducible por Eisenstein, lo $\beta^2$ no es un cuadrado en $K$, lo $\mathbb{Q}(\beta)=L$ grado $4$. Vamos $$\beta'=(a+b\alpha)\beta\in L$$ Cálculo de muestra $\beta'$ también satisface $f$, lo $\beta\mapsto\beta'$ induce un automorphism de $L$; llamarlo $g$. Más de cálculo de muestra $g(\beta')=-\beta$, lo $g$ orden $4$, e $\beta$ 4 conjugados en $L$, lo $L/\mathbb{Q}$ es de Galois, con $\operatorname{Gal}(L/\mathbb{Q})$ generado por $g$. Esto demuestra el "si" de dirección.

$\Leftarrow$ Si $L$ $\mathbb{Z}/4$ extensión de $\mathbb{Q}$, vamos a $g$ ser un generador de su grupo de Galois y deje $K$ ser el único cuadrática de subcampo. Podemos tomar $K=\mathbb{Q}(\alpha)$ $\alpha^2\in\mathbb{Q}$ $L=K(\beta)$ con $\beta^2\in K$. $1,\alpha,\beta,\alpha\beta$ es una base para $L/\mathbb{Q}$; podemos escribir una matriz de $g$, visto como un $\mathbb{Q}$-transformación lineal, con respecto a esta base. Debemos tener $g(1)=1$, e $g(\alpha)=-\alpha$ porque $g$ no puede actuar trivialmente en $K$. Deje $g(\beta)=c+d\alpha+a\beta+b\alpha\beta$$a,b,c,d\in\mathbb{Q}$. Luego, con el hecho de que $g(\alpha\beta)=g(\alpha)g(\beta)$, la matriz de $g$ es

$$\begin{pmatrix}1& &c&-\alpha^2d\\ &-1&d&-c\\ & &a&-\alpha^2b\\ & &b&-a\end{pmatrix}$$

También, $g^2(\alpha)=\alpha$ porque $K$ es fijo por $g^2$, e $g^2(\beta)=-\beta$ porque $-\beta$ $\beta$'s sólo conjugado $K$ $L$ no se fija por $g^2$. Por lo tanto la matriz de $g^2$ es

$$\begin{pmatrix}1& & & \\ &1& & \\ & &-1& \\ & & &-1\end{pmatrix}$$

Se sigue por el cálculo que $a^2-\alpha^2b^2=-1$. (Se desprende también que el $c=d=0$, pero esto no es necesario.) Por lo tanto $a+b\alpha\in K$ norma $-1$. Esto demuestra el "si" de dirección.

Answer 1

Una respuesta parcial (es decir, una dirección, y no muy computación-libre), es que si $L/\mathbb{Q}$ $\mathbb{Z}/4$ de extensión con grupo de Galois generado por $g$, $K$ es el campo fijo de $g^2$, e $\beta$ es un generador de campo para $L/\mathbb{Q}$ que es la raíz cuadrada de un elemento de $K$, $g(\beta)/\beta$ $K$ y tiene norma $-1$. Para, como se ha argumentado en el OP, $g^2(\beta)=-\beta$, lo que

$$g^2(g(\beta)/\beta)=g(g^2(\beta))/g^2(\beta)=g(-\beta)/(-\beta) = g(\beta)/\beta$$

por lo $g(\beta)/\beta\in K$, y su conjugado $\mathbb{Q}$ debe ser su imagen $g^2(\beta)/g(\beta)=-\beta/g(\beta)$ bajo $g$; por lo tanto su $K/\mathbb{Q}$-la norma es el producto

$$-\frac{\beta}{g(\beta)}\cdot\frac{g(\beta)}{\beta}=-1$$

Answer 2

Me referiré a mis notas sobre algunas afirmaciones precisas y definiciones: http://web.mit.edu/~holden1/www/matemáticas/ant.pdf.

Definir $I_K^S$ a ser el grupo de los ideales de $K$ generado por el primer ideales no en $S$ (o dividir los números primos en $S$). Definir $P_K(1,\mathfrak m)$ a ser el grupo de los principales ideales que son "1 módulo $\mathfrak m$." (10.3)

Por la clase de teoría de campo (10.4.1), si $L/K$ es abelian, $\mathfrak m$ es un módulo que contiene el conjunto de los números primos de $K$ ramificaciones en $L$, e $S$ el conjunto de los números primos dividiendo $\mathfrak m$, hay un isomorfismo $\psi_{L/K}:I^S_K/(P_K(1,\mathfrak m)\cdot \text{Nm}_{L/K}(I_L^S))\xrightarrow{\cong} G(L/K)$, y esto es compatible con la extensión de campo $M/L$ para formar un conmutativa de la plaza, en el lado derecho de la plaza, siendo la natural proyección $G(M/K)\to G(L/K)$.

El caso de $\mathbb Q$:

Lo anterior puede parecer complicado, pero es mucho más fácil de entender en el caso de $\mathbb Q$, porque de Kronecker-Weber resume gran parte de la afirmación anterior.

Cada abelian extensión de $L/\mathbb Q$ corresponde a $(N,m)$ donde $N\subseteq (\mathbb Z/m)^{\times}$ satisface $(\mathbb Z/m)^{\times}/N\cong G(L/\mathbb Q)$. De hecho, $I_{\mathbb Q}^S/P_{\mathbb Q}(1,m\infty)=(\mathbb Z/m)^{\times}$, y el grupo de la norma $\text{Nm}_{L/\mathbb Q}(I_L^S)$ puede ser considerado como un subgrupo de $(\mathbb Z/m)^{\times}$. Todos podemos hacer que esta muy explícito si queremos (y evitar CFT): $L=\mathbb Q(\sum_{j\in N}\zeta_m^j)$, y el isomorfismo es dado por $j\mapsto (\zeta_m\mapsto \zeta_m^j)$. De esto resulta claro que, por ejemplo, que el $-1\in N$ fib $L$ es real.

Tenga en cuenta que si $m\mid m'$ $N'$ proyectos $N$, luego $(N,m)$ $(N',m')$ corresponden a la extensión de la misma. Para cuadrática $L$, el más pequeño de $m$ podemos tomar es el discriminante. (Es el mismo como el más pequeño $m$ tal que $L\subseteq \mathbb Q(\zeta_m)$.)

El Problema

Deje $L/\mathbb Q$ ser cuadrática. Los siguientes son equivalentes.

(1) $L/\mathbb Q$ se produce en el interior de una $\mathbb Z/4$ campo.

(2) No es $(N,m)$ correspondiente a $L$ $N_1\subseteq N$ tal que $(\mathbb Z/m)^{\times}/N_1\cong \mathbb Z/4$.

(3) $L$ es real y el discriminante de $L$ es divisible sólo por los números primos $p\equiv 1,2\pmod 4$.

(4) $-1\in \text{Nm}_{L/\mathbb Q}(L)$.

(1)$\iff$(2) sigue a partir de la discusión anterior.

(3)$\implies$(2): El argumento es elemental pero la teoría de grupos es desordenado. Elija $m$ tal que $8\mid m$ y el discriminante $d$ divide $m$, y escribir $m=\prod_i p_i^{e_i}$. Deje $h_i:G_i\to \mathbb Z/2$ ser la única que no sea trivial mapa. Deje $h_i:G_i\to \mathbb Z/2$ ser un trivial mapa (el único lugar que tenemos que tener cuidado es $p_i=2$, aquí el uso de la mapa de $G_i\cong \mathbb Z/2\oplus (\mathbb Z/2)^{e_i-2}\to (\mathbb Z/2)^{e_i-2}\to \mathbb Z/2$). Uno puede comprobar $N=\ker \sum h_i$ corresponde a la única real cuadrática extensión con discriminante $d$. (La imagen que tenemos en mente es un tablero de ajedrez.) Porque todos los $p_i\equiv 1,2\pmod 4$, existen surjective mapas de $h_i':G_i\to \mathbb Z/4$ y podemos dejar que la $N_1=\ker \sum h_i'$. Esta muestra (2).

(3)$\implies$(2): Supongamos que por la vía de la contradicción $N_1$ obras. Escribir $m=\prod_i p_i^{e_i}$ y mantener la notación de arriba.

Primero supongamos $L$ no es real. A continuación,$-1\not\in N$. Pero, a continuación, $-1$ 4 $G/N_1$, contradicción.

Supongamos $k$ es tal que $p_k\ne 4k+1,2$. Ahora $G_k/G_k\cap N\cong \mathbb Z/2$ (en oposición a $\{1\}$) porque de lo contrario $(N',m/p_k)$ también representaría $m$ donde $N'$ es la proyección de $N$$\prod_{i\ne k}G_i$. Ahora considere el $g\in \prod G_i$ tal que $g_i=1$ por cada $i\ne k$ $g_k$ es un generador de $G_k$. A continuación,$g\not\in G_k\cap N$$g\not\in N$. Esto significa $g$ 4 $G/N_1$. Pero $\mathbb Z/4$ no es un cociente de $G_k$, contradicción.

Para (3)$\iff$(4), nota: $x^2-my^2$ es solucionable a través de cada $\mathbb Q_p$ fib $m$ es solo divisible por 2 y $4k+1$ números primos. A continuación, utilice el Hasse norma teorema: para cíclico $L/K$, un elemento es una norma mundial fib es un local que sucedió en cada lugar.

La moral de la razón por la que puede detectar la posibilidad de una $\mathbb Z/4$ de extensión con las normas es el de la correspondencia entre la norma y grupos de abelian extensiones; sin embargo, (4) no es inmediata a partir de (2) debido al tecnicismo con las normas de elementos y normas de ideales. Ya hemos comentado $-1\in N$ fib $N$ es real, así que si $-1\in N$ sólo medidas de parte de la falta de ser parte de una $\mathbb Z/4$-extensión.

Posiblemente hay algo más elemental que se puede hacer con la formas cuadráticas.

@Ben: $\frac{g(\beta)}{\beta}$ me recuerda a cohomology, aunque no sé si eso tiene algo que ver con ella.