¿Cómo se demuestra esta relación?

Question

¿Es la relación $$\lim_{x\rightarrow 1}\frac{Q_n^m(x)}{P_n^m(x)}=\frac{\pi}{2}\cot m\pi$$ ¿correcto? Aquí P y Q son los polinomios de Legendre asociados de la primera y segundo amable respectivamente. ¿Alguien sabe cómo demostrarlo, o algunas referencias a las que pueda remitirme? ¿Qué tal el límite en $x\rightarrow -1$ ? ¿Existe una relación $$\lim_{x\rightarrow -1}\frac{Q_n^m(x)}{P_n^m(x)}=\frac{\pi}{2}\cot n\pi~?$$

Answer 1

Utilizando las definiciones de las funciones de Ferrers aquí tenemos

$$\frac{Q_\nu^\mu(z)}{P_\nu^\mu(z)}=\frac{\pi}{2}\left(\cot(\pi\mu )-\csc(\pi\mu)\frac{\Gamma(\nu +\mu +1)}{\Gamma (\nu -\mu +1)}\frac{\Gamma(1-\mu)}{\Gamma(1+\mu)}\left(\frac{1-z}{1+z}\right)^{\mu }\frac{_2F_1\left({{-\nu,1+\nu}\atop{1+\mu}}\mid\frac{1-z}{2}\right)}{_2F_1\left({{-\nu ,1+\nu}\atop{1-\mu}}\mid\frac{1-z}{2}\right)}\right)$$

Dejar $z=1$ demuestra la identidad en el OP.