Estoy aprendiendo la transformada de Fourier y me preguntaba cuál es la transformada de Fourier de $f(a_1 x_1, ..., a_nx_n)$ es con respecto a $\hat{f}$ ? Sólo he podido encontrar respuestas para el caso unidimensional y me preguntaba cómo funcionaba esto para $n$ -dimensional. Gracias.
Respuesta
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Se escala más o menos como uno se imagina.
Supongamos que tenemos la transformada de Fourier de $f$ , dado por: $$ \mathscr{F}_f(x_1,\ldots,x_n) = \int\limits_{-\infty}^{\infty}\ldots\int\limits_{-\infty}^{\infty} f(t_1,\ldots,t_n) \exp\left(-2\pi i\sum\limits_j x_jt_j \right) \,dt_1 \ldots \,dt_n $$ Sea la función escalada $\widetilde{f}=f(a_1t_1,\ldots,a_nt_n)$ . Entonces tenemos: \begin{align} \mathscr{F}_\widetilde{f}(x_1,\ldots,x_n) &= \int\limits_{-\infty}^{\infty}\ldots\int\limits_{-\infty}^{\infty} f(a_1t_1,\ldots,a_nt_n) \exp\left(-2\pi i\sum\limits_j x_jt_j \right) \,dt_1 \ldots \,dt_n \\ &= \int\limits_{-\infty}^{\infty}\ldots\int\limits_{-\infty}^{\infty} f(a_1t_1,\ldots,a_nt_n) \exp\left(-2\pi i\sum\limits_j \frac{x_j}{a_j} \underbrace{t_ja_j\displaystyle}_{v_j\displaystyle}\displaystyle \right)\displaystyle \,\frac{dv_1}{|a_1|} \ldots \,\frac{dv_n}{|a_n|} \\ &= \left[ \prod\limits_k \frac{1}{|a_k|} \right] \int\limits_{-\infty}^{\infty}\ldots\int\limits_{-\infty}^{\infty} f(v_1,\ldots,v_n) \exp\left(-2\pi i\sum\limits_j \frac{x_j}{a_j} v_j \right) \,dv_1 \ldots \,dv_n \\ &= \left[ \prod\limits_k \frac{1}{|a_k|} \right]\mathscr{F}_f\left(\frac{x_1}{a_1},\ldots,\frac{x_n}{a_n}\right) \end{align} que es el análogo del caso 1D. Esto puede considerarse un Teorema de la similitud para una transformada de Fourier.
