¿Es posible caracterizar la teoría general de los anillos sólo con la lógica de primer orden? ¿Es posible hacerlo para la teoría de los dominios integrales?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?El lenguaje de los anillos incluye $+,\cdot$ como dos operadores binarios llamados "adición" y "multiplicación" repsectivamente, y para simplificar también podemos añadir dos símbolos constantes $0$ y $1$ para denotar los elementos neutros (si no se quiere hablar de anillos unitales, basta con omitir $1$ Por supuesto).
Ahora los axiomas establecen que ambos operadores binarios son asociativos, y $+$ es conmutativo y que $\cdot$ es distributiva, y que $0$ es el elemento neutro aditivo, y que todo elemento tiene un inverso aditivo; y finalmente $1$ es el elemento neutro multiplicativo.
Todas esas son oraciones de primer orden en el lenguaje de los anillos, por ejemplo: $\forall x(x+0)=x$ es la afirmación de que $0$ es el elemento neutro aditivo. Y así sucesivamente.
Por tanto, la teoría de los anillos es, efectivamente, una teoría de primer orden.
Si quieres añadir la afirmación de que el anillo es un dominio integral, sólo tienes que recordar que un dominio integral es un anillo que $\forall x\forall y(x\cdot y=0\rightarrow(x=0\lor y=0))$ . Es decir, siempre que $x\cdot y=0$ Uno de ellos es $0$ . He aquí que el enunciado que escribimos es un enunciado de primer orden en el lenguaje de los anillos, y al añadirlo a los axiomas mencionados anteriormente, obtenemos exactamente la teoría de los dominios integrales.
(Como indica Zhen Lin más adelante, también es habitual añadir que $0\neq 1$ para el dominio integral, pero esto también es un enunciado de primer orden en el lenguaje de los anillos, así que no es un problema).