Calculando $\int_0^{\infty}\frac1{1+z^4}dz$ ¿Cómo hemos llegado a esta desigualdad?

Question

En una clase de análisis complejo, que está relacionada con el Cálculo de residuos, se me muestra cómo calcular esta integral impropia utilizando los residuos:

Calculan $$\int_0^{\infty}\frac1{1+z^4}dz$$ Y el argumento es el siguiente:

$$\left|\int_{C_R}\frac1{1+z^4}dz\right|\le\int_{C_R}\left|\frac1{1+z^4}\right|\,d|z|\le\int_{C_R}\frac1{\left|z\right|^4}\,d\left|z\right|=\pi R\frac1{R^4}$$ donde $C_R$ es un círculo orientado positivamente alrededor del origen con radio $R$ . Ahora bien, ya que como $R\to\infty$ Esta integral es cero, por lo que utilizan uno de los teoremas de los residuos para calcular el resultado final.

Pero, lo que no consigo en esta discusión es: ¿Cómo consiguieron $|z^4|\le|1+z^4|$ en $C_R$ ?

Answer 1

La desigualdad está mal. La correcta es $|\frac 1 {1+z^{4}}| \leq \frac 1 {R^{4}-1}$ y esto funciona bien en la prueba.

[Recordemos que $|a+b| \geq |a|-|b|$ . Esto da $|1+z^{4}| \geq |z|^{4}-1=R^{4}-1$ ].