Definir un subconjunto infinito de primos tal que la suma de recíprocos converja

Question

¿Cómo podemos definir un infinito subconjunto de primos tal que la suma de recíprocos converge?

$S=\{p\in \mathbb{Z}^+ : p\ \text{is prime and some condition on}\ p\}$ s.t. $\sum\limits_{p\in{S}}\frac{1}{p}\neq\infty$

Algunas opciones que se me ocurren para la condición en $p$ son:

• $\log_2(p+1)\in\mathbb{N}$
• $\log_2(p-1)\in\mathbb{N}$

Pero no se ha demostrado que haya infinitos primos de este tipo para ninguna de estas opciones.

¿Alguna idea?

Answer 1

Por cada $n\in \mathbb{N}$ Definir lo principal $p_n$ como el menor de los primos que es mayor que $2^n$ . Entonces el conjunto $\{p_n \mid n\in \mathbb{N}\}$ es infinito y

$$\sum_n \frac{1}{p_n} \leq \sum_n \frac{1}{2^n} = 1\text{.}$$

Answer 2

Dejemos que $p_n$ sea un divisor primo de $(n^2)! + 1$ . Entonces tenemos $p_n > n^2$ lo que significa que $$\sum_{n \geq 1} \frac{1}{p_n} < \sum_{n \geq 1} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6} < \infty.$$

Answer 3

Tome el menor divisor primo de los números de Fermat $F_n=2^{2^n}+1$
Es bien sabido que son coprimos por parejas y que todo divisor primo de estos números es de la forma $p=k\cdot 2^{n+2}+1>2^n \Rightarrow \Sigma \frac{1}{p}<\Sigma\frac{1}{2^n}=1$ lo que demuestra que la suma de sus recíprocos converge.

Answer 4

$S=\{p\in \mathbb{Z}^+ : p\ \text{is prime and some condition on}\ p\}$ s.t. $\sum\limits_{p\in{S}}\frac{1}{p}\neq\infty$

He aquí un ejemplo con una simple condición explícita sobre $p$ .

$$ S= \{p \in \mathbb{Z}^+ | \text{$ p $ is prime and there is an $ n \in\mathbb {Z} $ such that $ 2^{n^2-1} \leq p \leq 2^{n^2} $} \}. $$

Se sabe que siempre hay un primo entre $k$ y $2k$ para cada $k\in\mathbb{Z}$ . Por lo tanto, el conjunto es infinito. [ Wikipedia ]

También se sabe que hay una constante $C$ tal que el número de primos menores que un entero $x$ , denotado por $\pi(x)$ es menor que $C\frac{x}{\ln x}$ . [ Wikipedia ]

Ahora podemos obtener una cota superior muy burda: Porque el número de primos entre $2^{n^2-1}$ y $2^{n^2}$ es menor que $\pi(2^{n^2})$ y sus recíprocos son menores que $\frac{1}{2^{n^2-1}}$ obtenemos $$ \sum_{p\in{S}}\frac{1}{p} \leq \sum_{n\in\mathbb{Z}^+} \frac{1}{2^{n^2-1}} \pi(2^{n^2}) \leq \sum_{n\in\mathbb{Z}^+} \frac{1}{2^{n^2-1}} C\frac{2^{n^2}}{\ln 2^{n^2}} \leq \sum_{n\in\mathbb{Z}^+} \frac{2 C}{\ln 2} \frac{1}{n^2} = \frac{2 C}{\ln 2} \frac{\pi^2}{6}. $$

Answer 5

Dejemos que $f:\Bbb N\rightarrow\Bbb N$ sea tal que $\sum_{n=0}^{\infty}1/\!f(n)$ converge (por ejemplo $f(n)=2^n$ ). Entonces la suma de los recíprocos de los $f(n)$ los primos ( $n=0,1,...$ ) converge.