Distribución de la carga en función del campo eléctrico $E=A\frac{e^{-br}}{r}\hat{r}$

Question

Estoy repasando algunos problemas con un manual de soluciones para repasar para un próximo examen y uno de los problemas que me encontré fue este:

¿Cuál es la densidad de carga relacionada con el campo $E=A\frac{e^{-br}}{r}\hat{r}$ ?

Ahora, obviamente, aquí usaría $\nabla\cdot E=\rho/\epsilon_0$ Sin embargo, tomando la divergencia del campo el manual de soluciones dice que debo encontrar un resultado que incluya la función delta de dirac $\delta(r)$ . Ahora me doy cuenta de que $\nabla\cdot\frac{\hat{r}}{r^2}=4\pi\delta(r)$ Sin embargo, no veo cómo esto está relacionado ya que mi campo es proporcional a $1/r$ y no $1/r^2$ .

Según el manual de soluciones que utilizamos $\nabla\cdot u\mathbf{v}=\mathbf{v}\cdot\nabla u+u\nabla\cdot\textbf{v}$ . Aplicar esto se supone que da: $\nabla\cdot E=A\bigg[\nabla(e^{-br})\cdot \frac{\hat{r}}{r^2}+e^{-br}\nabla\cdot(\frac{\hat{r}}{r^2})\bigg]$

Sin embargo, no veo dónde está el factor extra de $1/r$ parece venir.

Agradecería mucho que me ayudaran, ya que empiezo a sospechar que puede tratarse de un error de impresión.

Answer 1

Como sospechas, es un error de impresión y el campo eléctrico debería serlo: $$\mathbf{E} = A \frac{e^{-br}}{r^2} \mathbf{\hat{r}}$$ y en ese caso la insinuación tiene mucho sentido.

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Nota al margen:

Para el campo eléctrico mal impreso $\mathbf{E} = A \frac{e^{-br}}{r} \mathbf{\hat{r}}$ la solución que se obtiene por diferenciación directa es igual a la calculada en esta respuesta cuando te das cuenta de que $r \delta(r) = 0$ .

También hay que tener en cuenta que no es campo de Potencial de Yukawa pero sólo un componente de ese campo.

Answer 2

La fórmula es correcta. Unas matemáticas sencillas te darán la respuesta para este campo similar al potencial de Yukawa.

$$\mathbf{\rho = \epsilon \nabla \cdot E = A \epsilon \nabla \cdot \left(\frac{r\exp(-br)}{r^2} \hat r\right)}$$

Sabemos que $$\mathbf{\nabla \cdot (\phi F) = \phi (\nabla \cdot F) + (\nabla \phi) \cdot F}$$

Ahora, en coordenadas esféricas, el operador de divergencia se convierte en $$\mathbf{\nabla \cdot F=\frac{1}{r^2 \sin\theta}\left[\frac{\partial}{\partial r}(r^2 \sin \theta \, F_r) + \frac{\partial}{\partial \theta}(r \sin \phi \, F_\theta) + \frac{\partial}{\partial \phi}(rF_\phi)\right]}$$

Y el operador de gradiente se convierte en $$\mathbf{\nabla = \frac{\partial}{\partial r} \hat r+ \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial \theta} \hat \theta+ \frac{1}{r \sin\theta} \frac{\partial}{\partial \phi} \hat \phi}$$

Por lo tanto, si te acercas de esta manera

$$\mathbf{\rho = A \epsilon \frac{1}{r^2 \sin\theta}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2 \sin \theta \cdot \frac{r\exp(-br)}{r^2} \right) = A \epsilon \frac{1}{r^2 }\frac{\partial}{\partial r} \left[ r\exp(-br) \right]}$$

Se pierde la singularidad en $r=0$ y es una respuesta equivocada.

Tienes que ir como

$$\mathbf{\rho = A \epsilon \left[ r\exp(-br) \left\{\nabla \cdot \frac{\hat r}{r^2} \right\} + \nabla \left\{r\exp(-br)\right\} \cdot \frac{\hat r}{r^2} \right]}$$ $$\Rightarrow \mathbf{\rho = A \epsilon \left[ 4 \pi r\exp(-br) \delta(r) + \left(\frac{1-br}{r^2}\right) \exp(-br) \right]}$$ $$\Rightarrow \boxed{\mathbf{\rho = A \epsilon \exp(-br) \left[ 4 \pi r \delta(r) + \left(\frac{1-br}{r^2}\right) \right]}}$$

Espero que esto ayude.