He encontrado un comentario en un artículo que insinúa una relación entre el conjunto de conexiones (planas) de un haz principal y el grupo de homotopía de la base del haz. ¿Puede alguien decirme cuál es la correspondencia exacta? ¿Es el espacio de homotopía una especie de espacio de moduli para las conexiones planas?
Respuesta
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Los comentarios han tratado de relacionar el grupo fundamental y una conexión plana. Se puede decir algo sobre el espacio de moduli de las conexiones planas. Goldman, en http://www.springerlink.com/content/g468047131514211/ considera el espacio de moduli de las conexiones planas sobre una superficie de género $>1$ . Define una forma simpléctica y la relaciona con las clases de homotopía libre de las curvas cerradas. Karshon, en http://www.jstor.org/stable/2159424 y Abbaspour y Zeinalian, en http://www.msp.warwick.ac.uk/agt/2007/07/b009.html , discute algunas generalizaciones.
He aquí una breve descripción de la obra de Goldman. Veamos $S$ sea una superficie de género $g>1$ . El espacio de moduli de las conexiones planas sobre $S$ tiene singularidades, pero en los puntos del colector el espacio tangente puede identificarse con la primera cohomología de $S$ con coeficientes en un haz plano, $H^1(S; \text{flat bundle})$ (definido en el documento). Una forma dos se define tomando el producto taza de dos elementos en $H^1(S; \text{flat bundle})$ y evaluando el producto en $[S]$ . Esta forma es cerrada y no degenerativa: una forma simpléctica. Entonces las funciones suaves en el espacio de moduli de las conexiones planas, denotadas $C^\infty(\text{moduli space})$ con el soporte de Poisson es un álgebra de Lie.
Dejemos que $\hat \pi$ sean las clases de conjugación de elementos en $\pi_1(S)$ - es decir, las clases de homotopía libre de las curvas cerradas en $S$ y que $\mathbb{Z} \hat \pi$ sea el grupo abeliano libre generado por las clases. El soporte de Goldman es un soporte de Lie sobre $\mathbb{Z} \hat \pi$ se define eligiendo representantes, tomando la clase de homotopía libre representada por la composición de las curvas en los puntos de intersección, y tomando la suma de todas esas clases. Esto está bien definido y satisface la identidad de Jacobi.
Una curva cerrada en $S$ define una función sobre el espacio de moduli de las conexiones planas definida tomando la traza de la holonomía de la curva con respecto a una conexión. Como las conexiones son planas, la función es independiente de la elección del representante en $\mathbb{Z} \hat \pi$ . Goldman muestra que este mapa $$\mathbb{Z} \hat \pi \rightarrow C^\infty(\text{moduli space}) $$ es un mapa de álgebras de Lie.
