Dejemos que $(G, \cdot)$ sea un grupo, y $H \leqslant G$ . Dejemos que $x \in H$ , lo que $C_H(x) < C_G(x)$ ¿quieres decir? ( $C_A(x)$ notación para "centralizador de $x$ en A")

Question

Dejemos que $(G, \cdot)$ sea un grupo. Para cualquier $x \in G$ escribimos:

$$ C_G(x) = \{z \in G \mid z \cdot x = x \cdot z\}$$

Dejemos que $H \leqslant G$ (subgrupo de), y $x \in H$ . ¿Qué significa cuando escribimos:

$$ C_H(x) < C_G(x) $$

¿Significa esto que $\left| C_H(x) \right| < \left| C_G(x) \right|$ ? ¿Significa esto que $C_H(x) \subset C_G(x)$ ?

Encontré esta notación en Rotman's Introducción a la teoría de grupos :

Answer 1

Esto significa que $C_H(x)$ es un subgrupo propio de $C_G(x)$ es decir $C_H(x) \subseteq C_G(x)$ y $C_H(x) \neq C_G(x)$ .