Convergencia de una secuencia que se parece a la suma de Riemann derecha

Question

Supongamos que $f:[0,\infty)\to[-1,1]$ es una función continua en cero y en todos los puntos menos en un número finito, tal que $f(0)=1$ y $\int_0^\infty f^2(x)dx<\infty$ . Dejemos que $\{p_n:n\ge1\}$ sea una secuencia de enteros positivos tal que $p_n\to\infty$ como $n\to\infty$ pero $p_n/n\to0$ como $n\to\infty$ .

¿Es cierto que $$ \frac1n\sum_{j=1}^{n-1}f^2\Bigl(\frac j{p_n}\Bigr)=O(p_n/n) $$ como $n\to\infty$ ?

Si sustituimos el límite superior del sumatorio por $p_n$ , entonces obtendríamos el suma de Riemann derecha y $$ \frac1{p_n}\sum_{j=1}^{p_n}f^2\Bigl(\frac j{p_n}\Bigr)\to\int_0^1f^2(x)dx $$ como $n\to\infty$ pero como $p_n/n\to0$ como $n\to\infty$ En el caso de la suma, tenemos más términos en la suma y no estoy seguro de cómo tratarlos.

Se agradece cualquier ayuda.

Answer 1

No es cierto. De hecho, para cualquier secuencia de este tipo $p_n$ existe un $f$ tal que

$$\limsup_{n\to\infty}\frac1n\sum_{j=1}^{n-1}f^2\Bigl(\frac j{p_n}\Bigr)=1.$$

Para ver esto, defina $w_n=n/p_n$ y observe que $w_n\to\infty$ . Elige una secuencia $n_k\to\infty$ tal que $w_{n_k}/w_{n_{k+1}}\to 0$ . Definir $$S=\bigcup_{n\geq 1}(\tfrac{1}{p_{n_{k+1}}}\mathbb Z\cap[w_{n_k},w_{n_{k+1}}]).$$ $S$ es un conjunto discreto, por lo que podemos elegir una función integrable $f$ es decir $1$ en todas partes en $S$ por ejemplo, alrededor de cada punto podemos tomar una función "sombrero" lineal a trozos que sea cero fuera de la bola de radio $2^{-n}$ alrededor del punto, tomando entonces el valor máximo de todos estos sombreros. Pero $$\frac{1}{n_{k+1}}\sum_{j=1}^{n_{k+1}-1}f^2\Bigl(\frac j{p_{n_{k+1}}}\Bigr)\geq \frac{w_{n_{k+1}}-w_{n_k}-1}{w_{n_{k+1}}}\to 1.$$