Demostración de algunas propiedades de los operadores unitarios

Question

Dejemos que $X$ sea un espacio hilbert y $T\in L(X)$ sea un operador unitario. Mostrar

(1) $\sigma(T)\subset\{\lambda \in \mathbb C:|\lambda|=1\}$

(2) para $\lambda \in \mathbb C$ con $|\lambda|\neq1$ se mantiene: $||(T-\lambda)^{-1}||_{L(X)}\leq||\lambda|-1|^{-1}$

Cualquier ayuda es muy apreciada

Answer 1

(1) Si $T$ es un unitario, entonces $\|T\| = 1$ Así que $\sigma(T) \subset B[0,1] \subset \mathbb{C}$ . Además, si $\lambda \in \sigma(T)$ entonces $\overline{\lambda} \in \sigma(T^{\ast}) = \sigma(T^{-1})$ . Desde $$ (T-\alpha)^{-1} = -\alpha^{-1}(T^{-1} - \alpha^{-1})T^{-1} $$ y así $\overline{\lambda}^{-1} \in \sigma(T)$ De ahí que $\sigma(T) \subset \mathbb{T}$ .

(2) Si $|\lambda| > 1$ entonces $\|T/\lambda\| < 1$ Así que $$ \left( 1- \frac{T}{\lambda}\right)^{-1} = \sum \left(\frac{T}{\lambda}\right)^n $$ Ahora utiliza esto para calcular $\|(T-\lambda)^{-1}\|$ .

Si $|\lambda| < 1$ , haga lo mismo con $(1-T^{-1}\lambda)^{-1}$ en su lugar.