Encontrar el polinomio p

Question

Encuentra todos los polinomios $p(x)$ con coeficientes racionales de manera que para todo número irracional $x$ , $p(x)$ también es irracional.

Si es útil, este ejercicio lo encontré en uno de mis libros de texto de álgebra lineal.

Answer 1

Polinomios de grado $0$ y $1$ con coeficientes racionales funcionará. Pero los polinomios de mayor grado no lo harán. En concreto, supongamos que $p$ es un primo que no divide el numerador ni el denominador de ninguno de los coeficientes de su polinomio $P(x)$ . Entonces, no hay ninguna racionalidad $x$ tal que $P(x)$ tiene denominador $p$ : si $x$ no tiene denominador divisible por $p$ , $P(x)$ tampoco lo hace, mientras que si $x$ tiene un denominador divisible por $p$ , $P(x)$ tiene un denominador divisible por $p^d$ donde $d$ es el grado de $P$ .