Si $a_n \rightarrow 1$ , lo hace $X_n \overset{p}{\rightarrow} X$ implica $a_n X_n \overset{p}{\rightarrow} X$ ?

Question

El título lo resume bastante bien.

Estoy tratando de demostrar que $S_n^2 \overset{p}{\rightarrow} \sigma^2$ . Hasta ahora, lo he hecho:

$S_n^2 = \frac{n}{n-1} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i^2 - \frac{n}{n-1} \bar{X}_n^2$

Y demostré que $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i^2 \overset{p}{\rightarrow} \mathbb{E}(X^2)$ y $\bar{X}_n^2 \overset{p}{\rightarrow} \mathbb{E}(X)^2$ .

Dado que $\frac{n}{n-1} \rightarrow 1$ como $n \rightarrow \infty$ , lo único que me queda por hacer (creo) es demostrar lo del título (presumo que es cierto).

Soy estudiante de ingeniería informática y el inglés no es mi lengua materna, así que pido disculpas por los errores gramaticales y (más bien) por la falta de rigor matemático.

Gracias.

Answer 1

Desde $\{|a_n-1|\cdot |X_n|< 2\delta\}\cap \{|X_n-X|< \delta\}\subset\{|a_nX_n-X|< 3\delta\}$ tenemos $$P(|a_nX_n-X|\geqslant 3\delta)\leqslant P(|a_n-1|\cdot |X_n|\geqslant 2\delta)+P(|X_n-X|\geqslant \delta),$$ y por un argumento similar, $$P(|a_nX_n-X|\geqslant 3\delta)\leqslant P(|a_n-1||X_n-X|\geqslant \delta)+P(|a_n-1||X|\geqslant \delta)+P(|X_n-X|\geqslant \delta).$$ Para el primer término, observe que $(|a_n-1|,n\geqslant 1)$ es una secuencia acotada. Por convergencia en probabilidad de $X_n$ a $X$ el primer y tercer término convergerán a $0$ . En el caso de la segunda, hay que tener en cuenta que $|a_n-1||X|\to 0$ casi seguro.

De forma más general, se puede demostrar que si $X_n\to X$ y $Y_n\to Y$ ambos en probabilidad, entonces $f(X_n,Y_n)\to f(X,Y)$ en probabilidad para cualquier continuo $f\colon \Bbb R^2\to\Bbb R$ .

Answer 2

Sí. En econometría el resultado se conoce como Teorema de Slutsky . La extensión que menciona Davide se obtiene entonces utilizando el Teorema del mapeo continuo .