¿Cuáles son las aplicaciones elementales del Teorema de Frobenius en la Geometría Diferencial Clásica?

Question

Normalmente, en un primer curso de geometría diferencial se aprenden algunos resultados clásicos sobre la geometría de las curvas y superficies en el espacio euclidiano ordinario, y justo después, en cursos más avanzados, se aprenden sistemáticamente los conceptos y las herramientas del análisis sobre colectores, uno de cuyos pilares es el Teorema de Frobenius.

Para destacar la continuidad entre las dos etapas, sería bueno, por ejemplo, presentar el Teorema de Frobenius junto con algunas de sus aplicaciones en el ámbito de la geometría diferencial clásica.

Dirigiéndose a alguien que ya ha tenido un curso de introducción a la geometría diferencial, y que ahora está tomando un curso sobre variedades suaves, ¿cuáles son los resultados de la geometría diferencial clásica de curvas y superficies que podría presentar como buenas ilustraciones del Teorema de Frobenius?

Cualquier sugerencia es bienvenida.

Answer 1

En primer lugar, cualquier cosa que se demuestre utilizando el teorema de Frobenius también se puede demostrar utilizando el teorema de existencia y unicidad para las EDO y el hecho de que los parciales se conmutan. El teorema se utiliza en geometría diferencial para demostrar que los supuestos geométricos locales implican los globales. He aquí algunos ejemplos que me vienen a la mente:

1) Si un submanifold de $R^n$ tiene una segunda forma fundamental nula, es un subespacio afín de $R^n$ . Una afirmación similar es válida si la segunda forma fundamental es un múltiplo constante no nulo de la métrica.

2) De forma más general, si se tiene una Riemanniana abstracta $n$ -con una simetría $2$ -que satisface tanto la ecuación de Gauss como la de Codazzi-Mainardi, entonces determina una inmersión isométrica de la variedad en $(n+1)$ -espacio euclidiano único hasta el movimiento rígido. En un curso elemental, se podría presentar la $2$ -caso de la dimensión.

3) Una variedad riemanniana con curvatura seccional evanescente es isométrica a la métrica plana estándar en $R^n$ . De nuevo, el $2$ -El caso de las dimensiones se puede presentar en un curso elemental.

4) Una variedad riemanniana con curvatura seccional constante $1$ ( $-1$ ) es localmente isométrica a $S^n$ ( $H^n$ ).

El hecho de que prefieras utilizar las EDO o Frobenius a la hora de demostrar estas afirmaciones depende de cómo lo configures todo. En particular, si se establece todo usando formas diferenciales ("marcos móviles"), entonces es natural usar Frobenius. Si se establece todo en coordenadas, tal vez sea más directo utilizar las EDO.