Números complejos - Dados $(a+b) +i(a-b) = (1+i)^2 + i(2+i)$ obtener los valores de $a$ y $b$ .

Question

Esta sería una pregunta numérica compleja muy fácil para alguien que entiende la mayor parte de ella es sólo una de esas preguntas que debería saber pero he mirado tanto que estoy atascado! podría alguien por favor explicarme! aquí está:

Pregunta - Dada $(a+b) +i(a-b) = (1+i)^2 + i(2+i)$ obtener los valores de $a$ y $b$ . Nota $i=\sqrt{(-1)}$

¡Gracias a todos! ¡Espero tener noticias tuyas pronto!

Answer 1

Sólo hazlo.

$(1+i)^2 + i(2+i) =$

$(1 + 2i + i^2)+(2i + i^2)=$

$(1 + 2i -1) + (2i - 1)=$

$-1 + 4i$

Así que $-1 + 4i = (a+b) + (a+b)i$

Así que $a + b = -1$ y $a+b = 4$ .

Bueno, ¡no me extraña que estés atascado! Te han dado una ecuación imposible.

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Por sus comentarios, parece que lo que en realidad dado fue

$(a+b) + (a-b)i = (1+i)^2 + i(2+i)$

¿o tal vez algo más?

Sigue haciéndolo de la misma manera:

$(1+i)^2 + i(2+i) = -1 + 4i$

así que $(a+b) +(a-b)i = -1 + 4i$

así que $a+b = -1$ y $a-b = 4$ .

Esto tiene solución.

$a = - 1 - b$

$-1-b -b = 4$

$-2b = 5$

$b = -5/2$

$a = -1 -(-5/2) = 3/2$ .

o....

$a + b = -1$

$a - b = 4$

$(a + b) + (a-b) = -1 + 4$

$2a = 3$

$a = 3/2$

$(a + b) - (a-b) = -1 -4$

$2b = -5$

$b = -5/2$ .

Answer 2

Una pista: El truco es ver que la parte real de $(1+i)^2 + i(2+i)$ es $(a+b)$ mientras que la parte imaginaria viene dada por $(a-b)$ . Así que si puedes simplificar esa ecuación para que sea de la forma $x+iy$ Entonces sabrá que $x=a+b$ y $y=a-b$ que luego puedes resolver.

Answer 3

Generalizar la pregunta, cuando $\text{m}\space\wedge\space\text{w}\in\mathbb{R}$ y $\text{q}\space\wedge\space\text{z}\in\mathbb{C}$ :

$$\text{m}+\text{w}i=\text{q}^2+\text{z}i$$

Podemos establecer:

• $$\text{q}^2=\left(\Re[\text{q}]+\Im[\text{q}]i\right)^2=\Re^2[\text{q}]-\Im^2[\text{q}]+2\Re[\text{q}]\Im[\text{q}]i$$
• $$\text{z}i=\left(\Re[\text{z}]+\Im[\text{z}]i\right)i=-\Im[\text{z}]+\Re[\text{z}]i$$

Ahora, cuando $2\Re[\text{q}]=\Re[\text{z}]$ y $\Im[\text{q}]=\Im[\text{z}]$ :

$$\text{q}^2+\text{z}i=\Re^2[\text{q}]-\Im^2[\text{q}]-\Im[\text{q}]+i\left(2\Re[\text{q}]\Im[\text{q}]+2\Re[\text{q}]\right)$$

Así que, ahora lo sabemos:

• $$\text{m}=\Re\left[\text{q}^2+\text{z}i\right]=\Re^2[\text{q}]-\Im^2[\text{q}]-\Im[\text{q}]$$
• $$\text{w}=\Im\left[\text{q}^2+\text{z}i\right]=2\Re[\text{q}]\Im[\text{q}]+2\Re[\text{q}]=2\Re[\text{q}]\left(1+\Im[\text{q}]\right)$$

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Ahora, con su información $\text{m}=\text{a}+\text{b}$ y $\text{w}=\text{a}-\text{b}$ y asumiendo que $\text{a}\space\wedge\space\text{b}\in\mathbb{R}$ y $\text{q}=1+i$ y $\text{z}=2+i$ :

$$ \begin{cases} \text{m}=\text{a}+\text{b}=\Re\left[(1+i)^2+(2+i)i\right]=\Re^2[1+i]-\Im^2[1+i]-\Im[1+i]=-1\\ \text{w}=\text{a}-\text{b}=\Im\left[(1+i)^2+(2+i)i\right]=2\Re[1+i]\left(1+\Im[1+i]\right)=4 \end{cases} $$

Así que:

• $$\text{a}=\frac{3}{2}$$
• $$\text{b}=-\frac{5}{2}$$