¿Cuál es la diferencia entre $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}$y $\frac{\partial}{\partial x}$?

Question

¿No hay ninguna diferencia entre $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}$ y $\frac{\partial}{\partial x}$ todo el tiempo como la función tiene una variable?

$f(x) = x^3\implies \left\{\begin{align}&\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f = \dfrac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}=\dfrac{\mathrm{d}(x\mapsto x^3)}{\mathrm{d}x} = x\mapsto 3x^2&\color{green}{\checkmark}\\&\dfrac{\partial}{\partial x}f = \dfrac{\partial f}{\partial x}= \dfrac{\partial(x\mapsto x^3)}{\partial x} = x\mapsto 3x^2&\color{green}{\checkmark}\end{align}\right.$

Y si es así, ¿por qué esto cambia con dos (o más) variables?

$\require{cancel} f = yx ^ 3\implies \left\{\begin{align}&\color{grey}{\cancel{\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f = }} \dfrac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}=\dfrac{\mathrm{d}((x,y)\mapsto yx^3)}{\mathrm{d}x} \neq x\mapsto 3yx^2&\color{green}{\checkmark}\\&\dfrac{\partial}{\partial x}f = \dfrac{\partial f}{\partial x} =\dfrac{\partial((x,y)\mapsto x^3)}{\partial x} = x\mapsto 3yx^2&\color{red}{\mathcal{X}}\end{align}\right.$

Me sale que va a ser algo como esto

$f(x,y) = yx^3\implies \left\{\begin{align}&\color{grey}{\cancel{\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f = }} \dfrac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}=\dfrac{\mathrm{d}((x,y)\mapsto yx^3)}{\mathrm{d}x} \neq\\&\cdots\quad (x,y)\mapsto 3y\dfrac{\mathrm{d}\color{red}{(x\mapsto x^3)}}{\mathrm{d}x}+\dfrac{\mathrm{d}\color{red}{(y\mapsto y)}}{\mathrm{d}x}x^3 =\\&\cdots\quad (x,y)\mapsto 3y\color{red}{(x\mapsto x^2)}+\dfrac{\mathrm{d}\color{red}{(y\mapsto y)}}{\mathrm{d}x}x^3&\color{green}{\checkmark}\\&\dfrac{\partial}{\partial x}f = \dfrac{\partial f}{\partial x} = \dfrac{\partial(x,y)\mapsto x^3)}{\partial x} = x\mapsto 3yx^2&\color{green}{\checkmark}\end{align}\right.$

Answer 1

$\frac {\partial}{\partial x}$ indica que todas las variables que no sean $x$ deben ser tratadas como constante, mientras que $\frac{d}{dx}$ trataría las otras variables como exactamente eso: variable.

Así $f(x,y)=yx^3$, tenemos $$\begin{align} \frac{\partial f}{\partial x}&=3yx^2 \\ \frac {df}{dx}&=3yx^2+ \frac {dy}{dx}x^3 \\ \end {Alinee el} $$

Answer 2

Ninguna de las respuestas dadas hasta el momento es correcto. La respuesta correcta es algo decepcionante: utilizamos $\partial$ en lugar de $\Bbb d$ puramente por razones históricas.

De vuelta en el siglo 18, los matemáticos no eran tan rigurosa como la de hoy. Francés matemáticos, en particular, en lo que hoy llamamos "ecuaciones diferenciales parciales", se encontró con el siguiente problema: supongamos que tenemos una cantidad $u$ que depende de la posición $x$ y en el tiempo $t$ (en la jerga moderna, estamos hablando de una función suave $(t,x) \mapsto u(t,x)$);

• primero se necesita una notación que significa "la derivada de $u$ con respecto al $t$";

• alternativamente, usted puede evaluar $u$ en algunos trayectoria $t \mapsto x(t)$ y se derivan de esta cantidad (que en lenguaje moderno se $t \mapsto u(t,x(t))$) con respecto a $t$, por lo que necesita una notación para "la derivada de $u(t,x(t))$ con respecto al $t$.

Donde es el problema, entonces? El problema reside en el hecho de que entonces el concepto de "función" no existe, por lo tanto muchas veces los matemáticos utilizados para escribir $u(t,x)$ en lugar de $u(t,x(t))$ (es decir, que estaban usando $u(t,x)$ por tanto $u(t,x)$ e de $u(t,x(t)$). En este caso, usando la notación $\frac {\Bbb d} {\Bbb d t}$ habría creado confusión (usted todavía puede encontrar esta ambigüedad en los libros sobre la mecánica escrito en la década del '60- ¡sí!-, especialmente en muchas Soviética). Por lo tanto, que decidió venir para arriba con la notación $\frac {\partial} {\partial t}$ para el primer caso anterior, manteniendo el antiguo ($\frac {\Bbb d} {\Bbb d t}$) para el segundo.

El inventor de este "rizado d" fue Legendre, quien escribió: "Pour éviter toute ambiguité, je répresenterai par $\frac {\partial u} {\partial x}$ le coéfficient de $x$ dans la diferencia de $u$, & par $\frac {\Bbb d u} {\Bbb d x}$ la diferencia de complète de $u$ divisée par $\Bbb dx$." ("Con el fin de evitar toda ambigüedad, yo se representan por $\frac {\partial u} {\partial x}$ el coeficiente de $x$ en la diferencia de $u$, & $\frac {\Bbb d u} {\Bbb d x}$ la completa diferencia de $u$ dividido por $\Bbb dx$.") Lo Legendre dice es que él considera una expansión de Taylor de orden $1$ $u$ algunos $(x_0,y_0)$, y el coeficiente de $x - x_0$ será llamado $\frac {\partial u} {\partial x}$, con el fin de distinguirlo del coeficiente de $x-x_0$ en la expansión de Taylor de orden $1$ $u(x,y(x)$ - lo que sería denotado $\frac {\Bbb d u} {\Bbb d x}$. Como se puede ver, todo lo que estaba destinado a resolver una ambigüedad en la notación, la ambigüedad que desapareció con el nacimiento de la matemática moderna y su nueva y más rigurosa de dichas anotaciones.

¿Por qué mantener, ya? Sin rodeos puesto - por razones históricas y por la pereza. ¿Por qué cambiarla? Este cambio, si se hace, debe ser adoptada por cada país, y los estudiantes deben ser enseñado tanto de la "antigua" versión (con el fin de ser capaz de leer la literatura publicada hasta el momento), y el "nuevo". Bueno, un poco de sabiduría de vida le dice que es muy difícil hacer que todos los seres humanos a aceptar una decisión - además de que no es realmente importante, y es agradable de llevar con nosotros este pedazo de historia viva (que no historia de amor y cosas viejas?).

Es esta la única rareza mantenido hasta el momento actual? No, hay muchos otros. Aquí hay dos más: ¿por qué no escribir la más simple $\dfrac {\partial f} {\partial x_1 ^{i_1} \dots \partial x_n ^{i_n}}$, en lugar del más complicados $\dfrac {\partial ^{i_1 + \dots + i_n}f} {\partial x_1 ^{i_1} \dots \partial x_n ^{i_n}}$? Y ¿por qué escribir $\frac {\partial ^2 f} {\partial x^2}$ en lugar de $\frac {\partial ^2 f} {\partial ^2 x}$ (dos cosas que confunden a muchos estudiantes en el primer encuentro)? De nuevo, por razones históricas, que nadie se molestó en corregir más.

Answer 3

Si en una situación determinada tres variables $x$, $y$, $z$ son identificados como "realmente" independiente, y están de acuerdo en que las variables utilizadas para la identificación de los puntos de la subyacente en el terreno "set" $\Omega$, entonces cualquier función de $f:\>\Omega\to{\mathbb R}$ aparece como una función de $f:\>(x,y,z)\mapsto f(x,y,z)$, e ${\partial f\over\partial x}:\>\Omega\to{\mathbb R}$ es la "derivada parcial con respecto a $x$"a todos nos gustan. Si, sin embargo, en una situación de una cierta cantidad $u$ dependiendo $(x,y,z)$ desempeña un papel de primer orden, a continuación, la expresión ${\partial f\over\partial u}$ no tiene ningún sentido.

Para elaborar más: Si en una situación se nos da una curva de $$t\mapsto\bigl(x(t),y(t),z(t)\bigr)\in \Omega$$ describir la órbita de una nave espacial en el tiempo, a continuación, el astronauta en esta nave espacial se siente la temperatura $$\hat f(t):=f\bigl(x(t),y(t),z(t)\bigr)\ .$$ Entonces tiene sentido hablar de la ("total"), derivado $${d\hat f\over dt}={\partial f\over\partial x}\dot x(t)+{\partial f\over\partial y}\dot y(t)+{\partial f\over\partial z}\dot z(t)\ .$$

Answer 4

El primero $$ \dfrac{\partial f}{\partial x} \overset{\color{orange}{?}}{=} \dfrac{\partial(\color{orange}{(x,y)}\mapsto x^3)}{\partial x} = x\mapsto 3x^2 $$ es incorrecto ya que el cambio de la función de $f$, que debe ser $$ (x,y)\mapsto yx^3 $$

En la segunda parte

$ \left\{\begin{align}&\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f = \dfrac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}=\dfrac{\mathrm{d}((x,y)\mapsto yx^3)}{\mathrm{d}x} \neq\\&\cdots\quad (x,y)\mapsto 3y\dfrac{\mathrm{d}\color{red}{(x\mapsto x^3)}}{\mathrm{d}x}+\dfrac{\mathrm{d}\color{red}{(y\mapsto y)}}{\mathrm{d}x}x^3 =\\&\cdots\quad (x,y)\mapsto 3y\color{red}{(x\mapsto x^2)}+\dfrac{\mathrm{d}\color{red}{(y\mapsto y)}}{\mathrm{d}x}x^3\\&\dfrac{\partial}{\partial x}f = \dfrac{\partial f}{\partial x} \overset{\color{orange}{?}}{=} \dfrac{\partial(\color{orange}{x}\mapsto x^3)}{\partial x} = x\mapsto 3x^2\end{align}\right.$

• en la primera línea, la notación $\frac{d}{dx}$ es utilizado incorrectamente desde $f$ es una función con dos variables
• en la cuarta línea, se equivoca de nuevo como la primera, es decir, $x\mapsto x^3$ $$ x\mapsto yx^3 $$

---

Si desea utilizar $\frac{d}{dx}$ para la función de $f(x,y)=yx^3$, un camino posible es el tratamiento de la $y$ como un parámetro y definir $$ g_y(x):=yx^3. $$ Entonces $$ \frac{d}{dx}g_y(x)=\frac{d(x\mapsto yx^3)}{dx}=y\cdot\frac{d(x\mapsto x^3)}{dx}=y\cdot(3x^2) $$

Answer 5

A continuación vamos a considerar el valor real de las funciones de \begin{align*} &f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}&\text{and}\qquad\quad&g:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}\\ &x\mapsto f(x)&&(x,y)\mapsto g(x,y) \end{align*}

Se denota con a $\frac{\partial}{\partial x}$ la derivada parcial de una función de $f$ con respecto a la variable $x$ e con $\frac{d}{dx}$ el total de la derivada de una función $f$ con respecto a la variable $x$.

Una respuesta corta es:

• En el caso variable no hay ninguna diferencia entre el total de los derivados y la derivada parcial de $f$ con respecto al $x$.

• En el multi-variable el caso de que en general hay una diferencia entre el total y la derivada parcial.

$$ $$

Caso Multivariable: se considera el total derivado de la $g=g(x,y)$ con respecto al $x$. Es definidocomo \begin{align*} \frac{dg}{dx}&=\frac{\partial g}{\partial x}\cdot\frac{dx}{dx}+\frac{\partial g}{\partial y}\cdot\frac{dy}{dx}\\ &=\frac{\partial g}{\partial x}+\frac{\partial g}{\partial y}\cdot\frac{dy}{dx}\tag{1} \end{align*} y esto no es generalmente el mismo que \begin{align*} \frac{\partial g}{\partial x} \end{align*}

Ejemplo: $g(x,y)=yx^3$

Obtenemos \begin{align*} \frac{d}{dx}g(x,y)&=\frac{\partial }{\partial x}g(x,y)+\frac{\partial }{\partial y}g(x,y)\cdot\frac{dy}{dx}\\ &=\frac{\partial }{\partial x}(yx^3)+\frac{\partial }{\partial y}(yx^3)\cdot\frac{dy}{dx}\\ &=3x^2y+x^3\frac{dy}{dx}\\ \end{align*} mientras que \begin{align*} \frac{\partial }{\partial x}g(x,y)&=\frac{\partial }{\partial x}(yx^3)\\ &=3x^2y \end{align*}

Podemos observar el total de la derivada y derivadas parciales son diferentes en general. Son los mismos que en el ejemplo anterior, sólo cuando \begin{align*} \frac{dy}{dx}\equiv 0 \end{align*}

Única variable de caso:

En este caso el total de la derivada y derivadas parciales son los mismos desde que se aplica (1) en el caso de una sola variable es \begin{align*} \frac{df}{dx}&=\frac{\partial f}{\partial x}\cdot\frac{dx}{dx}=\frac{\partial f}{\partial x} \end{align*}