Demostrar que existen infinitamente muchos enteros $(n^{2015}+1)\mid n!$

Question

<blockquote> <p>Conjetura que existen infinitamente muchos enteros $n$ tales que $$(n^{2015}+1)\mid n!.$$</p> </blockquote> <p>He visto un problema más simple de que existen infinitamente muchos enteros $n$ tales que $(n^2+1)\mid n!$.</p> <p>Alternativamente, consideré la ecuación de Pell $n^2+1=5m^2$, $2m<n$, pero para $2015$ no puedo entenderlo.</p>

Answer 1

Progreso modesto. Hay infinitamente muchos enteros $n$ tales que $n^3+1\mid n!$.

Siempre tenemos $n^3+1=(n+1)(n^2-n+1)$. Sea $n=k^2+1$. Entonces $$ n^2-n+1=(1+k+k^2)(1-k+k^2). $$ Supongamos además que $k\equiv1\pmod3$. En ese caso, $1+k+k^2$ y $n+1=2+k^2$ son divisibles por $3$. Para todos los $k\equiv1\pmod3$ suficientemente grandes tenemos $$ (k^2+1)^3+1=3^2\cdot\frac{k^2+2}3\cdot\frac{k^2+k+1}3(k^2-k+1) $$ eso es claramente un factor de $(k^2+1)!$.

Answer 2

Desde $2015 = 5\cdot 13\cdot 31 $, y $n^a + 1| n^{ab}+1 $ si $b$ es impar, una condición necesaria para $n^{2015}+1 | n! $ es $n^m+1 | n!$ por cada $m$ en ${5, 13, 31 , 5\cdot 13 , 5\cdot 31 , 13\cdot 31 } $.

Las soluciones van a ser difíciles de encontrar. Todas esas expresiones de la forma $n^j-n^{j-1}+...-n+1 $ para $j$ impar tendrá que tener todos los factores primos $\le n$ para dividir $n!$.