Considere $$\mathbf F=\{F\subset \mathbb Q\colon F\text{ is finite}\}\quad\text{and}\quad\mathbf I=\{I\subset\mathbb Q\colon I\text{ is infinite}\}.$$ ¿Cómo puedo demostrar que $\mathbf F$ es contable y $\mathbf I$ es incontable?
Respuestas
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Sahas Katta
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Usaré $\mathbb{N}$ en lugar de $\mathbb{Q}$ lo que no importa ya que $\mathbb{Q}$ es contable. Una enumeración de $\mathbf{F}$ se obtiene escribiendo los números $0, 1, 2, \dotsc$ en binario y luego interpretar los dígitos como una función indicadora. Por ejemplo, $9 = 2^3 + 2^0$ representa $\{0, 3\}$ .
Ahora $\mathbf{F} \cup \mathbf{I} = \wp(\mathbb{N})$ el conjunto de todos los subconjuntos, que no es contable (véase más adelante). Dado que $\mathbf{F}$ es contable se deduce que $\mathbf{I}$ no es contable.
Para $\wp(\mathbb{N})$ puede utilizar un argumento diagonal: si $S_k$ es una secuencia de subconjuntos de $\mathbb{N}$ entonces $S \subseteq \mathbb{N}$ definido por $S = \{k \in \mathbb{N} \mid k \not \in S_k\}$ no se produce en esta secuencia. Por lo tanto, $\wp(\mathbb{N})$ no es contable.
DonAntonio
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Siguiendo la misma idea de sos440, pero sin enumerar los racionales. Definir $$F_n:=\{F\in \textbf{F}\,\,/\,\,|F|=n\}\Longrightarrow \textbf{F}=\bigcup_{n\in\mathbb{N}}F_n$$ y este último es una unión contable de conjuntos contables...
Para el otro conjunto sólo hay que tener en cuenta que hay $\,\,2^{\aleph_0}\,\,$ subconjuntos de números racionales.
