¿Qué se entiende por "isomorfismo de variedades" en este contexto?

Question

En este En el vídeo de Numberphile (justo después de la marca de tres minutos) se afirma que una colección de variedades es "no sólo homeomórfica, sino también isomórfica". Continúa diciendo que "los cambios necesarios para pasar de uno a otro no requieren que las partes del colector se muevan unas a través de otras". He estudiado algo de geometría diferencial, pero nunca me he encontrado con el término "isomorfismo" utilizado en este contexto.

Mi pregunta es: ¿cuál es la definición formal de isomorfismo en este contexto?

Mi mejor conjetura es que esto tiene algo que ver con la forma en que estos colectores están incrustados en $\mathbb{R}^3$ y tal vez esté relacionado con el concepto de isotopía aunque no estoy especialmente familiarizado con este tema. Para completar, las variedades en cuestión son todas "deformaciones" del toro de 3 agujeros.

Observación: No puedo imaginar que "isomorfo" se esté utilizando aquí para significar "difeomorfo" --- se sabe que todas las variedades lisas bidimensionales que son homeomorfas son difeomorfas.

Answer 1

Estoy bastante seguro de que quiere decir "isotópico", basándose en su descripción. Los homeomorfismos son isomorfismos en la categoría de espacios topológicos; parece que es un poco descuidado en la terminología.

También implica que los "isomorfismos" no son homeomorfismos, sino que son un tipo especial. No todo homeomorfismo es realizable a través de una isotopía en el espacio ambiental de los colectores. Pero sí es realizable mediante una isotopía en algunos espacio (normalmente de mayor dimensión).