Sin usar la dimensión, tengo que mostrar
De: pregunta
$\overrightarrow{x} \in \mathbb{R}^3$ también está en span $\{v_1, v_2, n\}$ donde $n = v_1 \times v_2$ . En el sitio web $v_1, v_ 2\in \mathbb{R}^3$ también.
Podemos dejar que $x = \langle x_1, x_2, x_3 \rangle$ pero eso no es muy útil.
Sé que el conjunto es linealmente independiente, ¿podría utilizarse? ¿Debo escribir su suma en forma de componentes?
No sé por qué no querrías utilizar argumentos de dimensión. Permítanme esbozar el enfoque más común.
Hecho general: Que $V$ sea un espacio vectorial de dimensiones finitas, digamos $\dim(V)=n$ . Supongamos que $\left\{v_1,v_2, \dots , v_n\right\}$ es un subconjunto linealmente independiente, entonces este conjunto es generador.
Esta afirmación se recoge en cualquier libro de texto estándar (y curso) de álgebra lineal. La demostración de este hecho es fácil una vez que se sabe cuál es la dimensión de un espacio vectorial. Pero para definir correctamente la dimensión de un espacio vectorial, primero hay que saber que, dadas dos bases diferentes del mismo espacio vectorial, tienen la misma cantidad de vectores. La prueba de este último hecho se reduce esencialmente al lema de Steinitz.
Dicho esto, volvamos al problema que nos ocupa. Tienes tres vectores en $\mathbb{R}^3$ que son linealmente independientes. Como $\dim(\mathbb{R}^3)=3$ En el caso de los vectores linealmente independientes, las discusiones anteriores demuestran que forman automáticamente una base.
Sin una información explícita sobre $v_1,v_2$ será difícil demostrar que el conjunto es generador directamente. Ni siquiera estoy seguro de que se pueda dar un argumento "directo". Demostrar que un conjunto es generador directamente es a menudo más difícil que demostrar la independencia lineal, esta técnica de añadir la dimensión en la discusión es a menudo útil para evitar tener que hacerlo explícitamente (que podría no ser posible).
Una aproximación: si $\{\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{u\times v}\}$ es linealmente independiente entonces, para todo $\mathbf{x}\in\mathbb{R}^3$ El sistema $$\mathbf{x}=\lambda_1\mathbf{u}+\lambda_2\mathbf{v}+\lambda_3(\mathbf{u\times v})$$ tiene solución (además, solución única) porque $$\text{rank }[\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{u\times v}]=\text{rank }[\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{u\times v},\mathbf{x}]=3$$ es decir, $\mathbf{x}\in \text{Span }\{\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{u\times v}\}.$
Usaré la notación de la respuesta anterior, ya que no me gustan los subíndices. Nos dan dos vectores $\mathbf{u}$ y $\mathbf{v}$ y queremos demostrar que cualquier vector dado $\mathbf{x}$ se encuentra en el tramo de $\{\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{n}\}$ , donde $\mathbf{n} = \mathbf{u} \times \mathbf{v}$ .
Primero vamos a centrarnos en el punto $\mathbf{w} = p \mathbf{u} + q \mathbf{v}$ que es el pie de la perpendicular de $\mathbf{x}$ al plano abarcado por $\mathbf{u}$ y $\mathbf{v}$ . Los escalares $p$ y $q$ son desconocidos, todavía tenemos que encontrarlos. Para obtener la perpendicularidad, necesitamos $p$ y $q$ para satisfacer las ecuaciones $$(\mathbf{x} - \mathbf{w}) \cdot \mathbf{u} = (\mathbf{x} - p \mathbf{u} - q \mathbf{v}) \cdot \mathbf{u} = 0 $$ $$ (\mathbf{x} - \mathbf{w}) \cdot \mathbf{v} = (\mathbf{x} - p \mathbf{u} - q \mathbf{v}) \cdot \mathbf{v} = 0 $$ En otras palabras, $p$ y $q$ que son soluciones del sistema lineal $$ p (\mathbf{u} \cdot \mathbf{u}) + q (\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}) = \mathbf{x} \cdot \mathbf{u} $$ $$ p (\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}) + q (\mathbf{v} \cdot \mathbf{v}) = \mathbf{x} \cdot \mathbf{v} $$ Existe una solución porque el determinante de este sistema es $(\mathbf{u} \cdot \mathbf{v})(\mathbf{v} \cdot \mathbf{v}) - (\mathbf{u} \cdot \mathbf{v})^2$ que es positivo a menos que $\mathbf{u}$ y $\mathbf{v}$ son linealmente independientes. O, simplemente, puedes ver que el sistema tiene una solución calculándola mediante la regla de Cramer.
Desde $\mathbf{x} - \mathbf{w}$ es ortogonal a ambos $\mathbf{u}$ y $\mathbf{v}$ debe ser paralela a $\mathbf{n} = \mathbf{u} \times \mathbf{v}$ . Por lo tanto, hay un escalar $k$ tal que $\mathbf{x} - \mathbf{w} = k \mathbf{n}$ . Pero entonces $$ \mathbf{x} = \mathbf{w} + k \mathbf{n} = p \mathbf{u} + q \mathbf{v} + k \mathbf{n} $$ lo que significa que $\mathbf{x}$ se encuentra en el tramo de $\{\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{n}\}$ .
Otro enfoque...
En realidad podemos mostrar algo más general: si los tres vectores $\mathbf{u}$ , $\mathbf{v}$ , $\mathbf{w}$ no son coplanares, entonces abarcan $\mathbb{R}^3$ . He aquí cómo:
Dado un vector $\mathbf{r}$ necesitamos demostrar que se puede escribir como una combinación lineal de $\mathbf{u}$ , $\mathbf{v}$ , $\mathbf{w}$ . En otras palabras, tenemos que encontrar escalares $x$ , $y$ , $z$ tal que $$ x\mathbf{u} + y\mathbf{v} + z\mathbf{w} = \mathbf{r} $$ Se trata de un sistema lineal de ecuaciones, que se puede escribir $$ \left[\begin{matrix} \leftarrow & \mathbf{u} & \rightarrow \\ \leftarrow & \mathbf{v} & \rightarrow \\ \leftarrow & \mathbf{w} & \rightarrow \\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \\ \end{matrix}\right] = \mathbf{r} $$ El sistema tiene solución siempre que el determinante de su matriz sea distinto de cero. Pero este determinante es simplemente $\mathbf{u} \cdot (\mathbf{v} \times \mathbf{w})$ . Este triple producto mide el volumen del paralelípedo que tiene $\mathbf{u}$ , $\mathbf{v}$ , $\mathbf{w}$ como aristas, por lo que será distinto de cero si $\mathbf{u}$ , $\mathbf{v}$ , $\mathbf{w}$ no son coplanares.
Si no se sabe nada de matrices y determinantes, basta con aplicar la regla de Cramer para resolver el sistema lineal. De nuevo, verás que el sistema tiene una solución única siempre que $\mathbf{u} \cdot (\mathbf{v} \times \mathbf{w}) \ne 0$ .
Y otro enfoque más...
De nuevo, vamos a demostrar que si los tres vectores $\mathbf{u}$ , $\mathbf{v}$ , $\mathbf{w}$ no son coplanares, entonces abarcan $\mathbb{R}^3$ .
Si $\mathbf{u} \cdot (\mathbf{v} × \mathbf{w}) \ne 0$ podemos definir tres nuevos vectores mágicos $\tilde{\mathbf{u}}$ , $\tilde{\mathbf{v}}$ , $\tilde{\mathbf{w}}$ mediante las ecuaciones $$ \tilde{\mathbf{u}} = \frac{\mathbf{v} × \mathbf{w}}{\mathbf{u} \cdot (\mathbf{v} × \mathbf{w})} \quad ; \quad \tilde{\mathbf{v}} = \frac{\mathbf{w} × \mathbf{u}}{\mathbf{u} \cdot (\mathbf{v} × \mathbf{w})} \quad ; \quad \tilde{\mathbf{w}} = \frac{\mathbf{u} × \mathbf{v}}{\mathbf{u} \cdot (\mathbf{v} × \mathbf{w})} $$ Estos tres vectores se denominan vectores duales de $\mathbf{u}$ , $\mathbf{v}$ , $\mathbf{w}$ o los vectores recíprocos.
Si $\mathbf{x}$ es un vector cualquiera, es sencillo comprobar que $$ \mathbf{x} = (\mathbf{x} \cdot \tilde{\mathbf{u}})\mathbf{u} + (\mathbf{x} \cdot \tilde{\mathbf{v}})\mathbf{v} + (\mathbf{x} \cdot \tilde{\mathbf{w}})\mathbf{w} $$ Esto demuestra que $\mathbf{x}$ se encuentra en el tramo de $\{\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w} \}$ e incluso te da fórmulas explícitas para los coeficientes. Esto es bonito, pero no te da mucha idea de la geometría de la situación.
La última ecuación que da $\mathbf{x}$ no es más que un enunciado disfrazado de la regla de Cramer, por lo que este enfoque está muy relacionado con el anterior.
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