Relación entre dos distribuciones expresadas en términos de sus FCD

Question

No soy muy bueno con las estadísticas, y tengo problemas para entender esto. Me gustaría una explicación, no demasiado detallada, en inglés sencillo de lo que significan estas transformaciones.

La estrategia de corrección del sesgo supone que las discrepancias del modelo permanecen constantes en el tiempo [es decir, que la relación entre las distribuciones de $X_o$ y $X_m$ es la misma que la relación entre las distribuciones de $X_o$ y $X_m$ (Figs. 1a,b)]. Esto permite obtener predicciones de futuros observables mediante el mapeo de futuras simulaciones del modelo, $X_o = B(X_m )$ con una función de transferencia dada por $B(X_m) = F_o^{-1}[F_m(X_m)]$ , donde $F_m( \cdot )$ es la función de distribución acumulativa (FDA) de $X_m$ y $F_o^{-1}( \cdot )$ es la FCD inversa (la "función cuantil") de $X_o$ .

Imagen que lo acompaña:

La mayoría de las veces no puedo entender esta parte:

$B(X_m) = F_o^{-1}[F_m(X_m)]$ , donde $F_m( \cdot )$ es la función de distribución acumulativa (FDA) de $X_m $ y $F_o^{-1}( \cdot )$ es la FCD inversa (la "función cuantil") de $X_o$ .

¿Cómo se aplica un FCD de una variable a otra, y luego también se aplica el FCD al resultado? Pensaba que éstas (las FCD) eran simplemente las características de una variable, no funciones que pudieran aplicarse a otra variable.

Debo añadir que entiendo su descripción, pero no cómo su matemática/simbolización coincide con su descripción.

Muchas gracias.

Answer 1

La CDF es una función (que es para lo que sirve la letra F), y cualquier función razonable $\varphi$ puede aplicarse a una variable aleatoria $X$ produciendo otra variable aleatoria $\varphi(X)$ . Como caso especial, aplicando la FCD de $X$ a $X$ resulta en una variable aleatoria distribuida uniformemente entre $0$ y $1$ , sin importar cuál era la distribución original (siempre que fuera continua). Otra forma de decirlo: $X = \varphi^{-1}(Z)$ donde $Z$ se distribuye uniformemente entre $)$ y $1$ y $\varphi$ es la FCD de $X$ . Esto es esencialmente una reafirmación de lo que es el CDF.

Pero aquí no estamos aplicando realmente un FCD, sino la composición $F_o^{-1}\circ F_m$ llamada función de transferencia. ¿Qué nos dice esta función sobre la relación de $X_0$ y $X_m$ ? Si $y=F_o^{-1}\circ F_m(x)$ entonces $F_o(y)=F_m(x)$ por lo que la probabilidad de $X_0\le y$ es la misma que la probabilidad de $X_m\le x$ . En otras palabras, esta composición $F_o^{-1}\circ F_m(x)$ convierte números del rango de $X_m$ a la gama de $X_0$ para que el resultado de la conversión sea exactamente el mismo percentil de $X_0$ ya que el número original era para $X_m$ .

¿De qué nos sirve esto? Bueno, si tenemos otro par de variables $X_0'$ y $X_m'$ que creemos que está en la misma relación que $X_0$ y $X_m$ podemos utilizar la función de transferencia para predecir $X_0'$ basado en $X_m'$ . Esta es la idea de enchufar $X_m'$ en la función de transferencia.