Mostraremos que bajo ciertas condiciones, la secuencia $\sin(P(n)),\,n=1, 2, ...$ donde $P(n)$ es un polinomio "suficientemente bueno", es denso en el intervalo $[-1, 1]$ .
Utilizaremos que, para cualquier polinomio $P$ ,
$$P(x) = a_mx^m+a_{m-1}x^{m-1}+...+a_0 $$ Si al menos uno de los coeficientes $a_j$ , $j>0$ es irracional, entonces $P(n)$ se distribuye uniformemente módulo $1$ . De hecho, sólo necesitaremos el hecho de que la secuencia $\{P(n)\}$ es denso en $[0, 1)$ .
Elijamos un número cualquiera de $[-1, 1]$ y escribámoslo en la forma $\sin(a)$ . $$|\sin(a)-\sin(P(n))|=2|\sin(\frac{a-P(n)}{2})\cos(\frac{a+P(n)}{2})| \leq2|\sin(\frac{a-P(n)}{2})| \\= 2|\sin(\frac{a-P(n)}{2}\,\text{mod}\,2\pi)| $$
$$\frac{a-P(n)}{2}\,\text{mod}\,2\pi = 2\pi(\frac{a-P(n)}{4\pi}\,\text{mod}\,1) $$ Recordemos lo que dijimos antes, si al menos uno de $\frac{a_j}{\pi}$ es irracional, pues $m\geq j\geq 1$ entonces $\frac{a-P(n)}{4\pi}\,\text{mod}\,1$ es denso en $[0, 1)$ . Entonces, para cualquier $\varepsilon>0$ podemos elegir $n$ para que..: $$\frac{a-P(n)}{4\pi}\,\text{mod}\,1 < \frac{\varepsilon}{4\pi}$$
Entonces: $$2|\sin(\frac{a-P(n)}{2}\,\text{mod}\,2\pi)|<\varepsilon $$ De lo que se deduce que: $$|\sin(a)-\sin(P(n))|<\varepsilon $$ Así que la secuencia es densa en el intervalo $[-1, 1]$ .
Puedes ver que este es un resultado mucho más fuerte. Dado que $\frac{1}{\pi}$ es irracional, $\sin(1+k^3)$ es denso en $[-1, 1]$ por lo que no converge a ningún número real.
Se me ocurrió esta prueba mientras leía el libro del que estoy aprendiendo ahora, se llama "Distribución Uniforme de Secuencias" de L. Kuipers y H. Niederreiter. Puedes encontrar la prueba de que las secuencias $P(n)$ de esa forma se distribuyen uniformemente allí. Es Teorema 3.2 en la página 27.
